Unione di due insiemi

L'unione di due insiemi è un'operazione che restituisce l'insieme contenente tutti gli elementi del primo insieme e del secondo insieme. In termini rigorosi, l'unione di due insiemi A,B\subset E è l'insieme definito da

 

A\cup B:=\{x\in E \mbox{ tale che }x\in A\mbox{ oppure }x\in B\}

 

L'operazione di unione insiemistica è molto diversa rispetto all'intersezione: in quest'ultimo caso dobbiamo prendere gli elementi comuni ad entrambi gli insiemi. Nel caso dell'unione, invece, dobbiamo prendere l'insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi.

 

Nota bene: parliamo dell'unione di insiemi anche nella lezione sul diagramma di Eulero Venn.

 

Esempi di unione tra insiemi

 

E1) Prendiamo come insieme universo E=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} e i sottoinsiemi

 

A=\{1,2,3\}, B=\{3,4,5\}, C=\{1,3,5,7,9\}, D=\{8,10\}

 

Abbiamo, ad esempio

 

A\cup B=\{1,2,3,4,5\}

 

A\cup D=\{1,2,3,8,10\}

 

C\cup D=\{1,3,5,7,8,9,10\}

 

C\cup B=\{1,3,4,5,7,9\}.

 

 

E2) Consideriamo l'insieme dei numeri naturali \mathbb{N}=\{0,1,2,3,...\} e P,D rispettivamente l'insieme dei numeri pari e quello dei numeri dispari. Prendiamo poi

 

A=\{n\in\mathbb{N}\mbox{ tale che }n\leq 10\},\ B=\{15,16\}

 

Allora

 

A\cup P=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\mbox{ e gli altri numeri pari}\}

 

A\cup D=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\mbox{ e gli altri numeri dispari}\}

 

P\cup D=\mathbb{N}

 

A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,15,16\}

 

 

E3) (Per chi è almeno in quinta liceo!) Dati gli intervalli reali A=[1,3], B=[1,5), C=(4,10], D=(0,1] abbiamo

 

A\cup B=[1,5)

 

B\cup C=[1,10]

 

A\cup D=(0,3]

 

Proprietà dell'unione tra insiemi

 

1) L'unione di un qualsiasi insieme con l'insieme vuoto coincide con l'insieme stesso. Infatti, dato A\subset E, è sufficiente osservare che, prendendo elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi, dobbiamo limitarci a prendere gli elementi di A perché \emptyset non ha elementi

 

A\cup \emptyset =A

 

 

2) L'unione di due insiemi inscatolati coincide con l'insieme più grande. Se abbiamo due insiemi A,B\subset E con A\subset B, allora

 

A\cup B=B

 

 

3) L'unione di un qualsiasi insieme con sé stesso è l'insieme stesso. Per qualsiasi insieme A\subset E risulta che

 

A\cup A=A

 

 

4) L'unione di un qualsiasi insieme con l'insieme universo coincide con l'insieme universo. Dato A\subset E, allora

 

A\cup E=E

 

La precedente proprietà è un semplice applicazione della 2).

 

 

5) L'unione tra insiemi è un'operazione insiemistica commutativa. Ossia non ha importanza l'ordine con cui si scrivono gli elementi dell'unione; dati A,B\subset E risulta che

 

A\cup B=B\cup A

 

 

6) L'unione di due insiemi qualsiasi contiene entrambi gli insiemi. In simboli, dati A,B\subset E, abbiamo che

 

A\subseteq A\cup B\mbox{, } \ B\subseteq A\cup B

 

 

7) L'unione è un'operazione associativa. Dati A,B,C\in E, possiamo equivalentemente considerare

 

A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C=(A\cup B)\cup C

 

 

8) L'unione è un'operazione distributiva rispetto all'intersezione, nel senso che se prendiamo tre insiemi A,B,C\subset E, allora

 

A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)

 

 

10) Unione e complementare (Legge di De Morgan). Il complementare dell'unione di due insiemi coincide con l'intersezione dei due complementari. Dati A,B\in E

 

(A\cup B)^{C}=A^C\cap B^C 

 

 


 

Hai dato un'occhiata alla lezione sull'intersezione insiemi? Se così non fosse, ti suggeriamo di leggerla e...nel frattempo, per qualsiasi dubbio o domanda, non esitare ad aprire una discussione nel Forum, e a cercare tra le decine di migliaia di problemi che abbiamo risolto qui su YM! ;)

 

Arvedze, see you soon guys!

Agente Ω

 

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