Intersezione

L'intersezione di due insiemi è un'operazione che permette di individuare l'insieme degli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi dati. Più precisamente: prendiamo due insiemi A,B\subset E, dove E indica l'insieme universo, e definiamo l'intersezione tra A,B come

 

A\cap B:=\{x\in E \mbox{ tale che }x\in A\mbox{ e }x\in B\}

 

È importante notare che, a differenza dell'unione insiemistica, nel caso dell'intersezione tra insiemi bisogna limitarsi a considerare solamente gli elementi che sono in comune tra i due insiemi.

 

 

Nota bene: parliamo dell'intersezione tra insiemi anche nella lezione sui diagrammi di Eulero Venn.

 

Esempi di intersezione tra insiemi

 

E1) Prendiamo come insieme universo E=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} e poi consideriamo

 

A=\{1,2,3\}\ ,\ B=\{3,4,5\}\ ,\ C=\{1,3,5,7,9\}\ ,\ D=\{8,10\}

 

Si vede subito che

 

A\cap B=\{3\}

 

A\cap D=\emptyset

 

C\cap D=\emptyset

 

C\cap B=\{3,5\}.

 

 

E2) Consideriamo l'insieme dei numeri naturali \mathbb{N}=\{0,1,2,3,...\} e P,D rispettivamente l'insieme dei numeri pari e quello dei numeri dispari. Prendiamo poi

 

A=\{n\in\mathbb{N}\mbox{ tale che }n\leq 10\}

 

Allora

 

A\cap P=\{0,2,4,6,8,10\}

 

A\cap D=\{1,3,5,7,9\}

 

P\cap D=\emptyset (non esiste alcun numero naturale che sia pari e dispari).

 

 

E3) (Per chi è almeno in quinta liceo!) Dati gli intervalli reali

 

A=[1,3]\ ,\ B=[1,5)\ ,\ C=(4,10]\ ,\ D=(0,1]

 

abbiamo

 

A\cap B=[1,3]

 

A\cap C=\emptyset

 

A\cap D=\{1\}

 

B\cap C=(4,5)

 

Proprietà dell'intersezione tra insiemi

 

1) L'intersezione di un qualsiasi insieme con l'insieme vuoto è vuota. Capirne il motivo è facile: comunque si prende un insieme A, l'insieme vuoto \emptyset è privo di elementi e dunque non può avere alcun elemento in comune con A

 

A\cap \emptyset =\emptyset

 

 

2) L'intersezione tra due insiemi inscatolati coincide con l'insieme che è contenuto nell'altro. Se abbiamo cioè due insiemi A,B\subset E con A\subset B, allora

 

A\cap B=A

 

 

3) Insiemi disgiunti. Nel caso in cui due insiemi A,B\subset E non abbiano elementi in comune, e dunque abbiano intersezione vuota

 

A\cap B=\emptyset

 

allora diciamo che A,B sono insiemi disgiunti.

 

 

4) L'intersezione di un qualsiasi insieme con l'insieme con sé stesso è l'insieme stesso. Per qualsiasi insieme A\subset E risulta che

 

A\cap A=A

 

 

5) L'intersezione di un qualsiasi insieme con l'insieme universo coincide con l'insieme dato. Dato A\subset E, allora

 

A\cap E=A

 

In realtà la precedente proprietà è un semplice applicazione della 2).

 

 

6) L'intersezione tra insiemi è un'operazione commutativa. In parole povere, dati A,B\subset E risulta che

 

A\cap B=B\cap A

 

 

7) L'intersezione di due insiemi qualsiasi è un sottoinsieme di entrambi gli insiemi. Comunque si considerano A,B\subset E, abbiamo che

 

A\cap B\subseteq A\ \mbox{ e }\ A\cap B\subseteq B

 

 

8) L'intersezione è un'operazione associativa. Dati A,B,C\in E, possiamo equivalentemente considerare

 

A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C=(A\cap B)\cap C

 

 

9) L'intersezione è un'operazione distributiva rispetto all'unione, nel senso che se prendiamo tre insiemi A,B,C\subset E, allora vale

 

A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)

 

 

10) Intersezione e complementare (Legge di De Morgan). Il complementare dell'intersezione di due insiemi coincide con l'unione dei due complementari. Dati cioè A,B\in E

 

(A\cap B)^{C}=A^C\cup B^C 

 

 


 

Hai dato un'occhiata alla lezione sull'unione di insiemi? Se non l'avessi letta, ti consigliamo di farlo e...nel frattempo, per qualsiasi dubbio o domanda, non esitare ad aprire una discussione nel Forum, e a cercare tra le decine di migliaia di problemi che abbiamo risolto qui su YM! Wink

 

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