Insieme complementare

Dato un insieme A in un insieme universo E, dunque A\subset E, si definisce insieme complementare di A, o più brevemente complementare di A, l'insieme definito da

 

A^{C}=\{x\in E\mbox{ tali che }x\notin A\}

 

L'insieme complementare di A è cioè l'insieme di tutti gli elementi dell'insieme universo che non appartengono ad A.

 

Si capisce subito, quindi, che per ottenere il complementare di un dato insieme A\subset E è sufficiente considerare la differenza insiemistica

 

A^C=E-A

 

Nota bene: parliamo del complementare di un insieme anche nella lezione sul diagramma di Eulero Venn.

 

Insiemi complementari particolari

 

 

Possiamo naturalmente considerare il complementare dell'insieme vuoto \emptyset  e il complementare dell'insieme universo E.

 

Nel primo caso \emptyset^{C} è costituito da tutti gli elementi di E che non stanno in \emptyset. Dato che \emptyset è per definizione privo di elementi, risulta

 

\emptyset^C=E

 

Al contrario, il complementare dell'insieme universo è l'insieme di tutti gli elementi di E che non stanno in E. E quali elementi conterrà? Nessuno, naturalmente. ;)

 

E^{C}=\emptyset

 

Esempi di insiemi complementari

 

1) Prendiamo come insieme universo E=\{1,2,3,4,5,6,7\}.

 

L'insieme complementare di A=\{1,7,3\} è dato da tutti gli elementi di E che non appartengono ad A, ossia da tutti gli elementi di E diversi da 1,3,7:

 

A^{C}=\{2,4,5,6\}

 

 

2) Consideriamo l'insieme dei numeri naturali \mathbb{N}=\{0,1,2,3,...\}, e sia P l'insieme dei numeri pari. Allora il complementare di P è dato da 

 

P^{C}=D=\{\mbox{numeri naturali dispari}\}

 

Basta infatti ricordare che un qualsiasi numero naturale è pari oppure dispari.

 

 

3) Sia I=(3,22]\subset \mathbb{R} l'intervallo reale di estremi 3 escluso e 22 incluso. Il complementare di tale insieme è dato da

 

I^{C}=(-\infty,3]\cup (22,+\infty)

 

 


 

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Agente Ω

 

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