Leggi di De Morgan

Le leggi di De Morgan sono due regole di calcolo per le operazioni tra insiemi che legano le operazioni di unione, intersezione e complementare. Le due leggi di De Morgan permettono di esprimere il complementare dell'intersezione e il complementare dell'unione in una forma più semplice.

 

Vediamo di capire cosa dicono la prima e la seconda legge di De Morgan che, in due formulette molto semplici, mettono in relazione ben tre operazioni chiave degli insiemi: unione, intersezione e complementare. In entrambi i casi prima le spieghiamo in generale e poi le dimostriamo con opportuni diagrammi.

 

Prima legge di De Morgan

 

Il complementare dell'intersezione tra due insiemi è uguale all'unione dei complementari. In simboli:

 

\overline{\mbox{A} \cap \mbox{B}}=\overline{\mbox{A}} \cup \overline{\mbox{B}} 

 

scrittura del tutto equivalente a

 

(A\cap B)^{C}=A^C\cup B^C

 

Un ottimo esercizio sarebbe quello di dimostrare la validità di tale formula utilizzando i diagrammi di Eulero Venn. Facciamolo!

 

Dopo aver disegnato i due insiemi \mbox{A} \ \mbox{e} \ \mbox{B} ed il loro insieme universo \mbox{U} rappresentiamo il primo membro \overline{\mbox{A} \cap \mbox{B}} che è il complementare dell'intersezione tra A e B: individuata l'intersezione tra i due insiemi (la parte bianca in figura) il complementare sarà dato dalla parte in blu:

 

 

Prima legge di De Morgan

 

 

Rappresentiamo ora il secondo membro: \overline{\mbox{A}} \cup \overline{\mbox{B}}. Per farlo dobbiamo riportare nel diagramma il complementare dell'insieme A (linee orizzontali) ed il complementare dell'insieme B (linee verticali). 

 

 

Prima legge di De Morgan (figura 2)

 

 

La loro unione infine sarà data da tutte le parti da cui passa almeno una linea: come potete notare l'unica parte esclusa è proprio l'intersezione, ovvero le due rappresentazioni sono identiche ragion per cui possiamo concludere che la dimostrazione conclusa :)

 

Seconda legge di De Morgan

 

Il complementare dell'unione tra due insiemi è uguale all'intersezione dei complementari, che scriveremo come:

 

\overline{\mbox{A} \cup \mbox{B}}=\overline{\mbox{A}} \cap \overline{\mbox{B}}

 

o, se preferite

 

(A\cup B)^C=A^C\cap B^C

 

Ormai dovreste aver capito come procedere per farne la dimostrazione grafica.

 

Il primo membro \overline{\mbox{A} \cup \mbox{B}} è dato da:

 

 

Seconda legge di De Morgan

 

 

dove in bianco è rappresentata l'unione ed in blu quello che serve a noi ovvero il suo complementare.

 

Per quanto riguarda invece \overline{\mbox{A}} \cap \overline{\mbox{B}} basta rappresentare il complementare di A (linee verticali) ed il complementare di B (linee orizzontali)

 

 

Seconda legge di De Morgan (figura 2)

 

 

e prenderne l'intersezione, data dalle parti in cui passano entrambi i tipi di linee ovvero, per intenderci, dove si formano i quadratini. Anche in questo caso, confrontando le due immagini potrete notare che le parti considerate sono uguali. :) 

 

 


 

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Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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