Differenza simmetrica

Ora ci occuperemo della differenza simmetrica tra due insiemi che è un'operazione insiemistica strettamente legata alla differenza tra insiemi quindi, in caso di dubbi a riguardo, non esitare a leggere l'apposita lezione.

 

Cos'è la differenza simmetrica

 

Siano \mbox{A} \ \mbox{e} \ \mbox{B} due insiemi. Diremo differenza simmetrica tra A e B e indicheremo con \mbox{A} \Delta \mbox{B} l'insieme:

 

\mbox{A} \Delta \mbox{B}=(\mbox{A}-\mbox{B}) \cup (\mbox{B}-\mbox{A})

 

ovvero la differenza simmetrica è l'unione tra i due insiemi differenza (\mbox{A}-\mbox{B}) e (\mbox{B}-\mbox{A}).

 

Detta in altre parole: la differenza simmetrica tra due insiemi è un nuovo insieme a cui appartengono tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B ad eccezione degli elementi che hanno in comune ovvero ad eccezione della loro intersezione.

 

Coi diagrammi di Eulero Venn la differenza simmetrica si rappresenta come:

 

 

Differenza simmetrica

 

 

dove in blu abbiamo rappresentato \mbox{A} - \mbox{B} ed in rosso \mbox{B} - \mbox{A}.

 

Differenza simmetrica nella rappresentazione intensiva

 

\mbox{A} \Delta \mbox{B} = \{x\ |\ x\in \mbox{A}, \ x \in \mbox{B}, \ x \notin \mbox{A} \cap \mbox{B}  \}

 

oppure

 

\mbox{A} \Delta \mbox{B} = \{x\ |\ \underbrace{x\in \mbox{A} \ \mbox{e} \ x \notin \mbox{B}}_{\mbox{A}-\mbox{B}} \ \underbrace{\mbox{oppure}}_{\bigcup} \ \underbrace{\ x \notin \mbox{A} \ \mbox{e} \ x \in \mbox{B}}_{\mbox{B}-\mbox{A}} \}.

 

 

Vediamo ora un esempio. Consideriamo i seguenti insiemi:

 

\mbox{A}=\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5\}, \ \ \ \mbox{B}=\{4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8 \}

 

Allora, poiché:

 

\mbox{A}-\mbox{B}=\{1, \ 2, \ 3\} \ \mbox{e} \ \mbox{B}-\mbox{A}=\{6, \ 7, \ 8\}

 

la loro differenza simmetrica in forma estensiva è data da:

 

\mbox{A} \Delta \mbox{B}= (\mbox{A}-\mbox{B}) \cup (\mbox{B}-\mbox{A})=\{1, \ 2, \ 3, \ 6, \ 7, \ 8\}

 

Per altri esempi ed un po' di esercizi svolti ti basta un click sull'icona degli esercizi a fondo pagina. Ora invece continuiamo con qualche altra nozioncina teorica.

 

Proprietà della differenza simmetrica

 

Siano \mbox{A} \ \mbox{,} \ \mbox{B} \ \mbox{e} \ \mbox{C} tre insiemi. Allora:

 

1) La differenza simmetrica di un insieme con se stesso è l'insieme vuoto:

 

\mbox{A} \Delta \mbox{A} = \emptyset

 

 

2) Se A \cap B = \emptyset (ovvero i due insiemi hanno intersezione vuota) allora la differenza simmetrica dei due insiemi coincide con l'unione degli stessi:

 

\mbox{A} \Delta \mbox{B} = \mbox{A} \cup \mbox{B}

 

 

3) La differenza simmetrica di un insieme con l'insieme vuoto è uguale all'insieme di partenza:

 

\mbox{A} \Delta \emptyset = A

 

 

4) Proprietà commutativa:

 

\mbox{A} \Delta \mbox{B} = \mbox{B} \Delta \mbox{A}

 

 

5) Proprietà associativa:

 

(\mbox{A} \Delta \mbox{B}) \Delta \mbox{C} = \mbox{A} \Delta (\mbox{B} \Delta \mbox{C})

 

 

6) Più facile da scrivere in simboli che a parole Tongue out

 

(\mbox{A} \Delta \mbox{B}) \Delta (\mbox{B} \Delta \mbox{C}) = \mbox{A} \Delta \mbox{C}

 

 

7) Proprietà distributiva dell'intersezione rispetto alla differenza simmetrica:

 

\mbox{A} \cap (\mbox{B} \Delta \mbox{C}) = (\mbox{A} \cap \mbox{B}) \Delta (\mbox{A} \cap \mbox{C})

 

 


 

I più volenterosi potrebbero provare a dimostrarle. Non è assolutamente difficile, soprattutto se si decide di farlo coi diagrammi di Eulero Venn. Nella scheda di esecizi correlata ne abbiamo dimostrata qualcuna... Laughing

 

Buon Proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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