Insieme delle parti

L'insieme delle parti di un insieme A, indicato con il simbolo P(A), è un insieme i cui elementi sono a loro volta insiemi; l'insieme delle parti di un insieme A è per definizione l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di A.

 

In questa breve lezione parleremo dell'insieme delle parti di un insieme e, in particolare, vedremo cos'è, come si determina, quanti elementi ha e sveleremo qualche rapido trucchetto che male non fa. :)

 

Cos'è l'insieme delle parti

 

Sia \mbox{A} un insieme finito. L'insieme delle parti di A che si indica con \mathcal{P(\mbox{A})} è un insieme che ha come elementi tutti i possibili sottoinsiemi dell'insieme A. Con tutti intendiamo proprio tutti, anche quelli impropri, cioè l'insieme vuoto e A stesso.

 

 

Esempio

 

Sia \mbox{A}=\{1, \ 2, \ 3\}. Determiniamo \mathcal{P(\mbox{A})}.

 

Non dobbiamo far altro se non scrivere tutti i possibili sottoinsiemi dell'insieme A. Per farlo partiamo dai sottoinsiemi impropri passando poi a quelli propri e procedendo con ordine in base al numero degli elementi. In questo modo siamo certi di non dimenticarne nessuno.

 

Sottoinsiemi improri: \mbox{A}, \ \emptyset

 

Sottoinsiemi propri di 1 elemento: \{1\}, \ \{2\}, \ \{3\}

 

Sottoinsiemi propri di 2 elementi: \{1, \ 2\}, \ \{1, \ 3\}, \ \{2, \ 3\}

 

Pertanto: \mathcal{P(\mbox{A})}=\big\{ \mbox{A}, \ \emptyset, \ \{1\}, \ \{2\}, \ \{3\}, \ \{1,2\}, \ \{1, 3\}, \ \{2,3\}\big\}

 

Cosa sono gli elementi dell'insieme delle parti?

 

Come abbiamo già detto e come avrete potuto notare nell'esempio precedente, gli elementi dell'insieme delle parti \mathcal{P(\mbox{A})} in quanto sottoinsiemi di un insieme sono a loro volta insiemi! L'insieme delle parti è quindi un insieme di insiemi!

 

Quanti sono gli elementi dell'insieme delle parti?

 

Se A è un insieme con elementi \mathcal{P(\mbox{A})} ne conterrà esattamente 2^n. Così nell'esempio precedente poiché A conteneva n=3 elementi, il suo insieme delle parti ne dovrebbe contenere 2^3=8 (provate a contarli Tongue out). Consigliamo di far sempre questo genere di verifica, è un ottimo metodo per essere ancor più sicuri di averli scritti tutti.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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