Partizione di un insieme

Una partizione di un insieme A è per definizione una qualsiasi collezione di sottoinsiemi di A tali da non essere vuoti, da avere intersezione vuota a due a due e tali che la loro unione coincida con l'intero insieme A.

 

In quest'articolo vedremo nel dettaglio cos'è una partizione di un insieme, capiremo quando due o più insiemi formano una partizione e arricchiremo il tutto con degli esempi. Prima di entrare nel vivo è però necessario che abbiate ben presente cosa si intende per: sottoinsieme, unione, intersezione ed insieme vuoto (in caso di dubbi basta un click!)

 

Cos'è una partizione di un insieme

 

Sia A un insieme. Diremo che due o più sottoinsiemi di A formano una partizione di A se soddisfano tre condizioni:

 

1) nessuno deve essere vuoto;

 

2) comunque si prendono due sottoinsiemi A la loro intersezione deve essere vuota;

 

3) la loro unione ci deve dare tutto l'insieme A.

 

Un'immaginetta che rende bene l'idea di partizione di un insieme è la seguente:

 

 

Partizione di un insieme

 

 

Supponendo infatti che nessuno di essi sia vuoto potete notare che la loro unione ci dà tutto l'insieme di partenza e non hanno elementi in comune, quindi presi a due a due la loro intersezione è vuota.

 

 

Esempio: dire se gli insiemi A_1=\{2\},\ A_2=\{4, \ 8\},\ A_3=\{6\} formano una partizione dell'insieme

 

A={x | x è un numero pari compreso tra 1 e 7}

 

 

Svolgimento: iniziamo scrivendo l'insieme per elencazione:

 

A=\{2, \ 4, \ 6 \}

 

Vediamo ora se i tre sottoinsiemi di A: A_1, \ A_2, \ A_3 verificano le tre proprietà sopra viste:

 

- tutti e tre sono non vuoti: ok!

 

- comunque se ne prendono due di essi la loro intersezione è vuota: ok!

 

- la loro unione A_1 \cup A_2 \cup A_3 = \{2,4,6,8\} è diversa dall'insieme A=\{2,4,6\}

 

Possiamo quindi concludere che A_1, \ A_2, \ A_3 non formano una partizione dell'insieme A.

 

 

Attenzione! Se nel precedente esempio invece di A avessimo avuto l'insieme B=\{2,4,6,8\} allora avremmo avuto una partizione di tale insieme. ;)

 

 


 

 

Se sei alla ricerca di altri esercizi svolti ti basta un click sull'immaginetta a fine pagina. Concludiamo questa lezione dando una definizione più formale del concetto di partizione adatta a lettori liceali o universitari.

 

Sia A un insieme non vuoto e siano A_1, \ A_2, \ ..... \ A_n n sottoinsiemi non vuoti di A. Tali sottoinsiemi formeranno una partizione di A se:

 

\forall i \in \{1,2,..n\}: \ A_i \neq \emptyset

 

A_i \cap A_j = \emptyset \ \forall i \in \{1,2,..n\}, \ i \neq j

 

\bigcup_{i=1}^{n}A_i = A

 

 

Esempi

 

 

1) \mbox{I_1}=(-\infty,0) \ \mbox{I_2}=(0, +\infty) formano una partizione di \mathbb{R} ?

 

No! Benchè siano disgiunti e non vuoti la loro unione non ci da tutto \mathbb{R} in quanto da entrambi è escluso lo zero.

 

 

2) \mbox{I_1}=(-\infty,2) \ \mbox{I_2}=[2, 3) \ \mbox{I_3}=[3, +\infty) formano una partizione di \mathbb{R} ?

 

Sì! Soddisfano infatti le tre proprietà prima viste ;)

 

 


 

Per chi volesse approfondire il discorso nel caso dei numeri reali, c'è un'interessantissima lezione che è il preludio per la teoria dell'integrazione: partizione di un intervallo - click!

 

Ora è davvero tutto! ;)

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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