Insieme Universo o insieme Ambiente

Un insieme universo di un insieme A, detto anche insieme ambiente, è un qualsiasi insieme che possa contenere A come sottoinsieme. Il concetto di insieme universo permette di individuare un ambiente all'interno del quale possono essere definiti altri insiemi, intesi come suoi sottoinsiemi.

 

Esprimere la nozione di insieme universo in questi termini potrebbe sembrare un qualcosa di futile e di poco conto ma, come vedremo tra poco, l'insieme universo riveste un ruolo fondamentale nell'insiemistica. Quindi riavvolgiamo il nastro e procediamo con calma. ;)

 

Definizione di insieme universo

 

Consideriamo l'insieme

 

(\spadesuit) \ \mbox{A}=\{x \ | \ 2\leq x \leq 5 \}

 

cioè l'insieme dei numeri "x" compresi tra 2 e 5, e supponiamo di volerlo rappresentare per elencazione. Presi dalla foga potremmo scrivere:

 

A=\{2,3,4,5\} 

 

ma perché no, anche:

 

A=\left\{2, \ \frac{10}{3}, \ 4.3, \ \frac{14}{3},\ ... \right\}

 

potrebbe andar bene, in quanto anch'essi son numeri compresi tra 2 e 5.

 

C'è quindi qualcosa che non va.. Ma cosa? Semplicemente ci siamo dimenticati di indicare, in \spadesuitl'ambiente da cui prendere gli elementi dell'insieme, ovvero ci siamo dimenticati di scrivere l'insieme universo di A e ciò ha generato un'ambiguità che non possiamo permetterci, altrimenti il concetto di insieme matematico perderebbe significato!

 

Per farla breve è proprio la rappresentazione dell'insieme \spadesuit ad essere sbagliata. Avremmo dovuto scrivere, ad esempio:

 

A=\{x\ |\ x \in {\color{Red}\mathbb{N}} \ | \ 2 \le x \le 5\}

 

dove l'insieme dei numeri naturali \mathbb{N} è, nel nostro caso, l'insieme universo dell'insieme A.

 

Cosa c'è da sapere sull'insieme universo

 

L'insieme universo si indica generalmente con la lettera \mbox{U} e, se si utilizzano i diagrammi di Eulero Venn, esso si rappresenta con un rettangolo che contiene l'insieme considerato, come mostrato in figura:

 

 

Insieme universo di un insieme

 

 

Attenzione al fatto che l'insieme universo di un insieme non è unico! Preso ad esempio:

 

B=\{a, \ e, \ u\}

 

Come insieme universo dell'insieme B potremmo considerare:

 

U1={x | x è una vocale}

 

U2={x | x è una lettera dell'alfabeto italiano}

 

U3={x | x è una lettera dell'alfabeto inglese}

 

U4={a, b, d, e, f, k, u, z}

 

...

 

Tutti infatti hanno l'insieme B come loro sottoinsieme proprio.

 

 


 

 

Nota Bene: Alcuni preferiscono definire l'insieme universo come il complementare dell'insieme vuoto e chiamano quello visto precedentemente insieme ambiente. La maggior parte, invece, come abbiamo fatto noi li utilizzano come sinonimi.. A voi quindi il compito di attenervi a quanto richiesto dal vostro prof. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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