Insieme vuoto

Un insieme vuoto, indicato con il simbolo Ø, è per definizione un insieme privo di elementi; in altri termini un insieme vuoto è un insieme che non contiene alcun elemento.

 

Parliamo dell'insieme più strano di tutti: l'insieme vuoto. Dal primo momento in cui se ne sente parlare, fino agli anni scolastici più avanzati, avremo sempre a che fare con l'insieme vuoto e dunque è importante conoscerne la definizione e le caratteristiche. Tranquilli: non c'è nulla, ma proprio nulla, di complicato.

 

Definizione di insieme vuoto

 

Per definizione un insieme vuoto è un insieme privo di elementi. Un esempio? Consideriamo il seguente insieme, definito per caratteristica:

 

A={x | x è un gatto con tre occhi}

 

Poiché, almeno fino ad oggi, non si sono ancora visti gatti con tre occhi, tale insieme non ha elementi, cioè è un insieme vuoto.

 

Vi siete mai chiesti perchè si utilizza la parola vuoto per indicare questo tipo di insiemi?

 

Coi diagrammi di Eulero Venn un insieme si rappresenta con una linea chiusa che fungerà da "contenitore", avente all'interno i suoi elementi. Se l'insieme non ha elementi, disegneremo una linea chiusa senza nulla al suo interno, cioè un "contenitore vuoto" da cui quindi il nome di insieme vuoto.

 

 

Diagramma di Eulero Venn dell'insieme vuoto

 

 

Consideriamo ora l'insieme:

 

B={x | x è un triangolo di 5 lati}

 

anche in questo caso, converrete con me nel dire che B non ha elementi, cioè è vuoto. :)

 

Come si indica un insieme vuoto?

 

Generalmente vi sono due modi di indicare l'insieme vuoto. Possiamo usare il simbolo dell'insieme vuoto, che è uno "zero spaccato": \emptyset; in alternativa possiamo indicarlo con una coppia vuota di parentesi graffe: \{ \ \}

 

Proprietà dell'insieme vuoto

 

Considerato un qualsiasi insieme A, si ha:

 

1) Insieme vuoto ed unione:

 

A \cup \emptyset = A

 

\emptyset \cup \emptyset = \emptyset

 

 

2) Insieme vuoto ed intersezione:

 

A \cap \emptyset = \emptyset

 

\emptyset \cap \emptyset = \emptyset

 

Presi due insiemi qualunque A e B se A \cap B = \emptyset A e B si dicono disgiunti.

 

 

3) Insieme vuoto e differenza tra insiemi

 

A - \emptyset = A

 

\emptyset - A= \emptyset

 

 

4) Insieme vuoto e differenza simmetrica

 

A \Delta \emptyset = A

 

 

5) Insieme vuoto e complementare di un insieme:

 

\bar{\emptyset} = \mbox{U}

 

dove con U indichiamo l'insieme universo.

 

Quanti sono gli insiemi vuoti?

 

Ne abbiamo già scritti due all'inizio di questo articolo... Potrei scriverne quanti volete:

 

C={x | x è un elefante rosso}

 

D={x | x è un uomo andato sul Sole}

 

E={x | x è un asino volante}

 

son tutti insiemi vuoti e potremmo continuare...Sembrerebbe quindi che vi siano infiniti insiemi vuoti ma in realtà essi sono tutti tra loro equipotenti, alcuni addirittura convengono che siano tra loro uguali ed affermano che in realtà vi è un unico insieme vuoto, ma forse stiamo divagando troppo... ;)

 

 


 

Per questa lezione è tutto! ;)

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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