Insiemi uguali, insiemi equipotenti

Una coppia di insiemi uguali è una coppia di insiemi che presenta esattamente gli stessi elementi; due insiemi equipotenti sono invece due insiemi che presentano lo stesso numero di elementi, non necessariamente uguali tra loro.

 

Chuinque abbia avuto a che fare con gli insiemi, almeno una volta avrà confuso i due concetti: quando due insiemi sono uguali e quando si dicono equipotenti? Sarà questa la domanda a cui risponderemo in questa lezione, servendoci nel frattempo di opportuni esempi.

 

Insiemi equipotenti

 

Siano A e B due insiemi finiti. diremo che A e B sono equipotenti o equipollenti se hanno la stessa cardinalità, ovvero se hanno lo stesso numero di elementi.

 

 

Esempi

 

1) L'insieme A delle lettere della parola "Mario" e l'insieme B dei numeri dispari compresi tra 2 e 12 sono equipotenti infatti dopo averli rappresentati per elencazione

 

A={m, a, r, i, o} e B={3, 5, 7, 9, 11}

 

si vede immediatamente che card(A)=card(B)=5.

 

 

2) L'insieme A delle note musicali e l'insieme B dei giorni della settimana sono anch'essi due insiemi equipollenti in quanto entrambi hanno 7 elementi, infatti:

 

A={do, re, mi, fa, sol, la, si} e B={lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica}

 

Insiemi uguali

 

Due insiemi E ed F si dicono uguali se hanno esattamente gli stessi elementi e in tal caso scriveremo: E=F.

 

Vediamo qualche esempio

 

1) Gli insiemi E={x | x è una lettera della parola "silvana"} ed F={x | x è una lettera della parola "slavina"} sono uguali, infatti:

 

E={s, i, l, v, a, n} ed F={s, l, a, v, i, n}

 

 

2) A={3} e B={x|x è un numero dispari compreso tra 2 e 4} sono anch'essi uguali in quanto entrambi hanno come unico elemento il numero 3.

 

Relazione tra uguaglianza ed equipotenza di insiemi

 

Abbiamo visto che i concetti di insiemi uguali ed insiemi equipotenti sono ben diversi eppure c'è un legame tra i due:

 

 

due insiemi uguali sono sempre equipotenti mentre due insiemi equipotenti non sono necessariamente uguali.

 

 

Non è difficile convincersene. Abbiamo infatti visto che due insiemi sono uguali se hanno esattamente gli stessi elementi, ragion per cui gli elementi saranno necessariamente in egual numero, cioè i due insiemi hanno la stessa cardinalità e quindi sono equipotenti.

 

Al contrario, due insiemi equipotenti hanno sì lo stesso numero di elementi ma non è detto che gli elementi siano necessariamente gli stessi (vedi esempi precedenti) quindi non possiamo dire che sono uguali.

 

 


 

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Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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