Cardinalità di un insieme finito

La cardinalità di un insieme finito A, detta anche potenza o ordine dell'insieme e solitamente indicata con #A, con card(A) o ancora con |A|, è un numero naturale definito come il numero di elementi che costituiscono l'insieme.

 

Vediamo velocemente che cos'è la cardinalità di un insieme, facendo riferimento solo al caso degli insiemi finiti (che poi sono quelli che ci interessano alle Scuole Medie e Superiori)

 

Sia A un insieme avente un numero di elementi tali da poterli contare dal primo all'ultimo, ossia un insieme finito. Diremo allora cardinalità (o potenza o ordine) dell'insieme A il numero dei suoi elementi e scriveremo:

 

#A oppure card(A) o ancora |A|

 

Esempi sulla cardinalità degli insiemi finiti

 

1) Trovare la cardinalità dell'insieme A delle vocali della parola "foglietto".

 

Dopo aver rappresentato l'insieme per elencazione: A={o,i,e} e aver contato i suoi elementi avremo: card(A)=3

 

Tutto qui. :)

 

 

2) Che ordine ha l'insieme B={x | x è un numero dispari compreso tra 12 e 22}?

 

I numeri dispari tra 12 e 22 sono cinque, cioè: 13, 15, 17, 19, 21. Allora card(B)=5

 

 

3) Dire quali tra i seguenti insiemi rappresentati per caratteristica hanno lo stesso numero di elementi:

 

C={x | x è una vocale}

 

D={x | x è una lettera della parola "mamma"}

 

E=\{x\ |\ x \in \mathbb{N}, \ 2 \leq x \leq 6\}

 

Scrivendo tali insiemi per elencazione avremo:

 

C={a, e, i, o, u};  D={m,a};  E={2,3,4,5,6}


da cui possiamo contare immediatamente le relative cardinalità: card(C) = card(E) = 5, mentre card(D)=2 ovvero: solo gli insiemi C ed E ad avere la stessa cardinalità.

 

 

Come avrete potuto notare da soli: la cardinalità di un qualsiasi insieme finito è un numero naturale.

 

Cardinalità dell'insieme vuoto e cardinalità di un insieme infinito

 

Concludiamo con due casi particolari:

 

- la cardinalità dell'insieme vuoto è uguale a zero. In simboli: \mbox{card}\left(\emptyset\right)=0

 

- la cardinalità di un insieme infinito si indica generalmente con \infty. Ad esempio:

 

\mbox{card}\left( \mathbb{N} \right) = \infty dove con \mathbb{N}, come di consueto, indichiamo l'insieme dei numeri naturali. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino [Galois]

 

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