Prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è per definizione un insieme i cui elementi sono della forma (a,b) dove a appartiene ad A e b appartiene a B. In altri termini, il prodotto cartesiano di due insiemi è l'insieme di tutte le possibili coppie ordinate di elementi dei due insiemi.

 

In questa lezione lavoreremo con un concetto semplice quanto importante: il prodotto cartesiano tra due insiemi. Questa lezione è dedicata particolarmente a chi è al primo anno delle scuole superiori, ma va bene anche per chi ha bisogno di ripassare un po' di concetti di base.

 

Cos'è il prodotto cartesiano di due insiemi?

 

Consideriamo due insiemi non vuoti A e B, chiameremo prodotto cartesiano A per B, l'insieme che ha per elementi tutte le coppie ordinate (a,b) con a∈A e b∈B. Indicheremo questo nuovo insieme con la scrittura 

 

A\times B

 

e lo leggeremo come A per B, o A cartesiano B. In matematichese il prodotto cartesiano lo si definisce come:

 

A\times B=\left\{(a,b)| a\in A\mbox{ e } b\in B\right\}

 

Il primo elemento della coppia, a, si chiama prima coordinata, mentre il secondo elemento della coppia, b, si chiama seconda coordinata.  E' importante sottolineare l'importanza del termine coppia ordinata: una coppia è ordinata quando si fissa quale deve essere il primo elemento e quale deve essere il secondo. In generale la coppia (a,b) è diversa da (b, a) perché differiscono nell'ordine. Non è chiaro? Proviamo a fare un

 

Esempio sul prodotto cartesiano di due insiemi

 

Due squadre di calcio italiane, Inter, Milan sono state scelte per competere ad un torneo di beneficienza contro altrettante squadre spagnole: R. Madrid, Barcellona. Gli organizzatori vogliono sorteggiare gli accorpamenti per l'andata, che avverrà in Italia, ed il ritorno che avverrà in Spagna. L'insieme delle squadre italiane formano l'insieme A, mentre quelle spagnole formano l'insieme B:

 

A=\left\{\mbox{Inter}, \mbox{ Milan}\right\}\quad B=\left\{\mbox{R. Madrid}, \mbox{ Barcellona}\right\}

 

Per le partite d'andata le squadre italiane giocano in casa, quindi nel formazione delle coppie esse saranno la prima coordinata. Le possibili coppie sono:

 

A\times B=\left\{ (\mbox{Inter}, \mbox{R. Madrid}),( \mbox{Inter}, \mbox{Barcellona}), (\mbox{Milan}, \mbox{R. Madrid}), (\mbox{Milan}, \mbox{Barcellona})\right\}

 

Con questo insieme verrà creato il calendario d'andata!

 

Per le partite di ritorno sono le squadre spagnole a giocare in casa, e in questo caso le coppie sono 

 

B\times A=\left\{ (\mbox{R. Madrid},\mbox{Inter}),(  \mbox{Barcellona},\mbox{Inter}), (\mbox{R. Madrid},\mbox{Milan}), ( \mbox{Barcellona},\mbox{Milan})\right\}

 

Con questo insieme verrà creato invece il calendario di ritorno. Ora facciamo un piccolo ragionamento calcistico. Le partite (Inter, R. Madrid) e (R. Madrid, Inter) non sono uguali perché il giocare in casa aiuta, il campo da gioco influirà sulla partita.

 

Questo era un esempio per mettere in chiaro che l'ordine delle coppie è importante ed infatti il prodotto cartesiano tra due insiemi non gode della proprietà commutativa:

 

A\times B\ne B\times A

 

E se uno dei due insiemi è vuoto cosa succede? La risposta è semplice, non è possibile creare le coppie :).  Per definizione si pone quindi che per ogni insieme A si ha che:

 

A\times \emptyset= \emptyset\times A=\emptyset

 

Il prodotto cartesiano di un insieme per l'insieme vuoto è l'insieme vuoto.

 

Proprietà del prodotto cartesiano

 

P-0) Cardinalità del prodotto cartesiano: se A è un insieme che ha n elementi e B è un insieme con m elementi allora il prodotto cartesiano ha esattamente nxm elementi:

 

Se \mbox{card}(A)= n e \mbox{card}(B)= m allora \mbox{card}(A\times B)= n\times m

 

Il prodotto cartesiano gode della proprietà distributiva sia rispetto all'intersezione sia rispetto all'unione di insiemi, sussistono cioè le seguenti relazioni:

 

P-1) Distributività del prodotto rispetto all'intersezione: presi tre insiemi A, B, C

 

A\times (B\cap C)= (A\times B)\cap (A\times C)

 

P-2) Distributività del prodotto rispetto all'unione: presi tre insiemi A, B, C

 

A\times (B\cup C)= (A\times B)\cup (A\times C)

 

Rappresentazione del prodotto cartesiano

 

La rappresentazione del prodotto cartesiano può avvenire in più modi e per evidenziarli prenderemo come esempio il prodotto cartesiano tra due insiemi: A= {1,2, 3} e B={a, b}

 

- rappresentazione tabulare: consiste nello scrivere tutte le coppie possibili racchiuse tra parentesi graffe.

 

A\times B=\left\{(1,a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)\right\}

 

- rappresentazione tramite Eulero Venn: si scrivono tutte le coppie in una linea non intrecciata chiusa.

 

Prodotto cartesiano

 

- rappresentazione tramite tabella a doppia entrata: è utile quando i due insiemi A e B sono costituiti da un numero finito di elementi. Consiste nel creare una tabella: scriveremo tutti gli elementi di A nella prima colonna, gli elementi di B nella prima riga. Riempiremo le caselle con le coppie che si ottengono per "incrocio".

 


   \color{blue}A \color{black}\setminus\color{red}B\color{black}   
 
\color{red}a \color{red}b\color{black}

\color{blue}1\color{black}
 
 (\color{blue}1\color{black},\color{red}a\color{black})     (\color{blue}1\color{black},\color{red}b\color{black})  

\color{blue}2\color{black}
 
(\color{blue}2\color{black},\color{red}a\color{black}) (\color{blue}2\color{black},\color{red}b\color{black})

\color{blue}3\color{black}
 
(\color{blue}3\color{black},\color{red}a\color{black}) (\color{blue}3\color{black},\color{red}b\color{black})

 

 

-rappresentazione tramite diagramma ad albero: scriviamo verticalmente gli elementi del primo insieme A. Per ciascun elemento di A facciamo partire tanti rami quanti sono gli elementi del secondo insieme B. Tali rami collegheranno ogni elemento di A con tutti gli elementi di B. 

 

Rappresentazione del prodotto cartesiano col diagramma ad albero

 

- rappresentazione sagittale: rappresentiamo gli insiemi A e B con i diagrammi di Eulero Venn, dopodiché collegheremo ciascun elemento di A con tutti gli elementi di B tramite delle frecce. Le frecce ci suggeriscono anche l'ordine. La freccia parte dalla prima componente della coppia e arriva alla seconda, atchung!

 

Rappresentazione sagittale del prodotto cartesiano

 

-rappresentazione tramite diagramma cartesiano: consiste nel disegnare rette perpendicolari aventi la stessa origine dette assi. Indicheremo sulla retta orizzontale gli elementi di A, e sulla retta verticale gli elementi di B, si formano gli incroci tramite rette parallele agli assi. Tali incroci rappresenteranno le coppie del prodotto cartesiano.

 

Prodotto cartesiano nel piano cartesiano

 

Il diagramma cartesiano è particolarmente adatto quando uno dei due insiemi è infinito. Per approfondire leggete la lezione sul piano cartesiano.

 


 

Abbiamo finito ragazzi, questo è quello che dovete sapere sul prodotto cartesiano. Ci sono dubbi, curiosità e problemi su questo argomento? Nessun problema, utilizzate la barra di ricerca di YouMath, oppure aprite una discussione nel Forum e vediamo di risolvere i vostri dubbi. :)

 

Buona continuazione!

Salvatore Zungri (alias Ifrit)

 

Lezione precedente.............Esercizi correlati


Tags: definizione di prodotto cartesiano - tutte le possibili rappresentazioni del prodotto cartesiano di due insiemi.