Sfera

La sfera è un solido di rotazione che viene generato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al diametro. Talvolta con abuso di linguaggio ci si riferisce alla sfera come alla superficie sferica, ossia la superficie di tale solido.

 

L'ultimo solido di rotazione fondamentale di cui vogliamo occuparci è la sfera. In questo formulario proponiamo la definizione e le principali proprietà che la caratterizzano, soffermandoci come di consueto sulle formule da usare per risolvere i problemi e gli esercizi. Tra le formule della sfera tratteremo in particolare quella per il volume e per l'area della superficie, comprese ovviamente le formule inverse per calcolare il raggio.

 

Definizione di sfera

 

Prima di tutto richiamiamo la definizione di sfera che abbiamo fornito nell'introduzione:

 

- si definisce sfera il solido ottenuto dalla rotazione di un semicerchio attorno al suo diametro.

 

Il raggio della sfera è il raggio del semicerchio, mentre il centro della sfera è definito come centro del semicerchio.

 

 

Sfera

Una sfera

 

 

In questo frangente dobbiamo fare un'importante precisazione. Anche il linguaggio matematico purtroppo può risultare ambiguo e, come avrete modo di sentire nella vostra carriera scolastico/universitaria, spesso con il termine sfera ci si può riferire alla superficie sferica, che possiamo definire nel modo seguente:

 

- si dice superficie della sfera l'insieme dei punti equidistanti dal centro della sfera e con distanza pari al raggio r.

 

Notate la differenza? Se da un lato il termine sfera si riferisce al solido, dall'altro viene talvolta usato per indicarne la superficie. Siate quindi flessibili e tenete sempre conto del contesto di riferimento, prediligendo ove possibile la più corretta denominazione di superficie sferica.

 

Formule della sfera

 

Dopo aver introdotto le definizioni possiamo passare alle formule della sfera. Indicheremo con r il raggio, con Stot l'area della superficie totale e con V il volume della sfera.

 

Come potete notare le formule da sapere non sono tantissime: potete limitarvi a quelle riportate in grassetto, dal momento che le altre sono formule inverse e possono essere ricavate con semplici passaggi algebrici.

 

 

Volume della sfera

V=\frac{4}{3}\pi r^3

Raggio (dal volume)

r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}

Superficie totale della sfera

S_{tot}=4\pi r^2

Raggio (dalla superficie)

r=\sqrt{\frac{S_{tot}}{4\pi}}

Area del cerchio equatoriale

S_{E}=\pi r^2

Perimetro equatoriale 

2p_E=2\pi r

Per il Pi Greco si può usare l'approssimazione

\pi\simeq 3,14

 

Proprietà della sfera

 

Attenzione: ci teniamo a precisare che la sfera presenta tantissime proprietà, molte delle quali richiedono un livello di preparazione piuttosto avanzato (≈facoltà universitaria di Matematica). Per ovvi motivi qui ci limitiamo ad un'infarinatura sulle proprietà principali, più che sufficienti per studenti delle scuole medie e delle superiori.

 

- Definizione alternativa: una sfera è l'insieme dei punti dello spazio con distanza da un punto fisso (il centro) minore o al più uguale ad una lunghezza costante, detta raggio. Si noti come tale definizione sia del tutto analoga a quella di cerchio.

 

- La sfera è un solido di rotazione generato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al diametro. In modo equivalente, si può ottenere una sfera facendo ruotare un cerchio attorno ad un diametro qualsiasi di un angolo pari a 180° (mezza rotazione).

 

- La sfera è il solido che presenta il minimo rapporto tra volume e superficie totale.

 

\frac{V}{S_{tot}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{4\pi r^2}=\frac{r}{3}

 

- La sfera è il solido più simmetrico in assoluto, dal momento che presenta infiniti assi di simmetria. Qualsiasi diametro della sfera è infatti un asse di simmetria; essa inoltre è simmetrica rispetto al centro e gode dunque di simmetria centrale.

 

- Se si considera il cilindro circoscritto ad una sfera, risulta che il volume del cilindro è pari a 3/2 il volume della sfera

 

V_{cilindro\ circoscritto}=\frac{3}{2}V_{sfera}

 

ed inoltre la superficie laterale del cilindro circoscritto è pari alla superficie della sfera

 

S_{lat, cilindro}=S_{sfera}

 

In particolare un cilindro circoscritto ad una sfera è necessariamente un cilindro equilatero.

 

- Una sfera è equivalente a un cono con altezza pari al raggio della sfera e con raggio di base pari al diametro della sfera.

 

Componenti e parti della sfera

 

Ci sono quattro parti notevoli della sfera che in genere non sono oggetto di studio alle scuole medie e che vengono trattate alle scuole superiori. Per approfondire le definizioni vi rimandiamo alla lettura delle pagine dei rispettivi link. ;)

 

Settore sferico

Calotta sferica

\\ S=\pi R (r + 2h)\\ \\ V=\frac{2}{3}\pi R^2 h

\\ S=2 \pi R h\\ \\ V=\pi h^2 \left(R-\frac{h}{3}\right)

Settore sferico Calotta sferica

Spicchio sferico

Fuso sferico

V=\frac{\alpha \pi R^3}{270^o}

S=\frac{\alpha \pi R^2}{90^o}

Spicchio sferico Fuso sferico

 

 

I più attenti avranno certamente notato che c'è un perfetto parallelismo tra le parti della sfera e le parti del cerchio, che in alcuni casi possono essere ricavate da esse mediante opportune proiezioni ortogonali.

 

 

Sfera Cerchio
Superficie sferica Circonferenza
Settore sferico Settore circolare 
Calotta sferica Segmento circolare
Spicchio sferico Settore circolare
Fuso sferico Arco di circonferenza

 

 

Problemi ed esercizi svolti sulla sfera

 

Qui su YM abbiamo svolto parecchi esercizi e problemi sulla sfera: in caso di necessità potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. Tra le altre cose avete a disposizione anche un tool per risolvere la sfera online.

 

È tutto! Rimandiamo gli universitari che hanno letto questa lezione per ripassare a due approfondimenti molto utili: equazione della sfera e coordinate sferiche. ;)

 

 

Tchau, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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