Tronco di cono

Il tronco di cono è un solido di rotazione generato dalla rotazione completa di un trapezio rettangolo intorno all'altezza, e può essere anche definito come solido ottenuto tagliando un cono lungo un piano parallelo alla base.

 

Questo formulario è dedicato al tronco di cono, uno dei quattro tipi fondamentali di solido di rotazione. Qui di seguito ci occupiamo della definizione e delle proprietà che lo contraddistinguono; elencheremo tutte le formule del tronco di cono utili per la risoluzione dei problemi e degli esercizi, ed in particolare quelle per il volume, per l'apotema e per l'area della superficie laterale.

 

Per chi fosse in cerca degli altri formulari dedicati ai solidi di rotazione notevoli: cilindro, cono e sfera. ;)

 

Definizione di tronco di cono

 

Ripartiamo dalla definizione di tronco di cono che abbiamo scritto nelle prime righe:

 

- si definisce tronco di cono il solido ottenuto tagliando un cono con un piano parallelo al piano della superficie di base.

 

- In modo del tutto equivalente, un tronco di cono è un solido generato dalla rotazione di un trapezio rettangolo attorno all'altezza.

 

 

Tronco di cono

Un tronco di cono

 

 

Per quanto riguarda gli elementi caratteristici, possiamo definire:

 

- le basi del tronco di cono: sono le due basi parallele del solido.

 

- l'altezza del tronco di cono: è il segmento perpendicolare ad entrambe le basi.

 

- l'apotema del tronco di cono: è il lato obliquo del trapezio rettangolo che genera il tronco di cono nella rotazione (cfr apotema).

 

Vale la pena di notare l'analogia che sussiste tra il tronco di cono e il tronco di piramide, che possono essere rispettivamente definiti a partire dal cono e dalla piramide.

 

Formule del tronco di cono

 

Occupiamoci ora delle formule del tronco di cono, non prima di aver specificato la corrispondenza tra nomi e simboli. Denotiamo con r1 il raggio della base minore, con r2 il raggio della base maggiore, con h l'altezza, con a l'apotema, con Sb l'area di base minore, con SB l'area di base maggiore, con Slat l'area della superficie laterale, con Stot l'area della superficie totale e con V il volume.

 

A differenza di quanto abbiamo fatto negli altri formulari qui non riportiamo tutte le formule inverse, perché ci troveremmo a scrivere formule piuttosto complesse e inutilmente complicate da ricordare. Le formule inverse possono piuttosto essere ricavate mediante passaggi algebrici a partire dalle formule evidenziate in grassetto. Vi suggeriamo di limitarvi a ricordare le formule per la superficie e per il volume del tronco di cono e di ricavare le altre affidandovi al puro ragionamento. ;)

 

 

Volume del tronco di cono

V=\frac{1}{3}\pi(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)h 

Volume (formula equivalente)

V=\frac{(S_{B}+S_{b}+\sqrt{S_BS_b})h}{3}

Superficie totale del tronco di cono

S_{tot}=\pi(r_1+r_2)a+\pi(r_1^2+r_2^2)

Superficie totale (formula equivalente)

S_{tot}=S_{lat}+S_B+S_b

Superficie laterale del tronco di cono

S_{lat}=\pi(r_1+r_2)a

Superficie laterale (formula equivalente)

S_{lat}=S_{tot}-S_{B}-S_{b}

Superficie di base minore (area del cerchio)

S_b=\pi r_1^2

Superficie di base minore

 S_b=S_{tot}-S_{lat}-S_{B}

Superficie di base maggiore (area del cerchio)

S_B=\pi r_2^2

Superficie di base maggiore

S_B=S_{tot}-S_{lat}-S_{b}

Apotema del tronco di cono (dalla superficie laterale)

a=\frac{S_{lat}}{\pi(r_1+r_2)}

Apotema (teorema di Pitagora)

a=\sqrt{h^2+(r_2-r_1)^2}

Altezza del tronco di cono (dal volume)

h=\frac{3V}{S_B+S_b+\sqrt{S_BS_b}}

Altezza (teorema di Pitagora)

h=\sqrt{a^2-(r_2-r_1)^2}

 

 

Ritornando all'osservazione precedente, se ad esempio volessimo calcolare l'apotema di un tronco di cono avente l'area laterale nota potremmo usare la formula diretta, oppure ricorrere al più semplice teorema di Pitagora dopo aver determinato gli elementi caratteristici necessari.

 

Proprietà del tronco di cono

 

- Un tronco di cono è un solido di rotazione ottenuto da una rotazione completa di un trapezio rettangolo attorno alla propria altezza.

 

- Le basi di un tronco di cono sono due cerchi paralleli tra loro.

 

- L'altezza di un tronco di cono ne è l'asse di simmetria.

 

- La proiezione ortogonale di un tronco di cono rispetto ad un piano parallelo alle basi è un cerchio congruente alla base maggiore.

 

- Il volume di un tronco di cono si può calcolare come differenza tra i volumi di due coni. Per l'area della superficie laterale vale un discorso del tutto analogo.

 

- Un tronco di cono e un tronco di piramide con basi e altezze congruenti sono equivalenti (hanno cioè lo stesso volume).

 

- La superficie laterale del tronco di cono è equivalente a un trapezio avente basi di lunghezza pari alla lunghezza delle due circonferenze di base, e avente per altezza l'apotema del tronco. Si può desumere facilmente tale proprietà considerando lo sviluppo del tronco di cono su un piano.

 

 

Esercizi e problemi svolti sul tronco di cono


Lo sapete che qui su YM ci sono tantissimi problemi ed esercizi svolti nel dettaglio? Potete trovare tutto quello che vi serve usando la barra di ricerca interna. inoltre, in caso di necessità, vi rimandiamo al tool per risolvere il cono online. ;)

 

 

Tchau, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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