Cono

Il cono è un solido di rotazione che si ottiene facendo ruotare un triangolo rettangolo attorno ad uno dei due cateti; un cono equilatero è un particolare tipo di cono in cui l'apotema è congruente al diametro del cerchio di base.

 

Proseguiamo con la rassegna dei principali solidi di rotazione. In questo formulario ci occuperemo del cono e avremo cura di studiarne nel dettaglio la definizione e tutte le proprietà che lo caratterizzano, analizzando anche il caso del cono equilatero. Nello specifico ci concentreremo sulle formule del cono che consentono di risolvere i problemi e gli esercizi delle scuole medie e delle superiori, proponendo anche le formule inverse per volume, superficie e apotema.

 

Vi ricordiamo che gli altri solidi di rotazione più importanti sono il cilindro e la sfera, oltre al tronco di cono a cui abbiamo dedicato un formulario a parte. ;)

 

Definizione di cono

 

Ripartiamo dalla definizione di cono e dalla definizione di cono equilatero che abbiamo introdotto inizialmente e specifichiamone gli elementi caratteristici.

 

- Si definisce cono un solido dato dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti.

 

Il cateto attorno al quale avviene la rotazione è detto altezza del cono, mentre l'altro cateto viene a coincidere con il raggio del cerchio di base. L'ipotenusa prende invece il nome di apotema del cono.

 

 

Cono

Un cono

 

- Si dice cono equilatero un qualsiasi cono in cui la lunghezza dell'apotema coincide con il diametro del cerchio di base

 

Formule del cono

 

Siamo pronti per passare all'elenco delle formule del cono, ma prima di procedere è opportuno specificare il significato dei simboli che adotteremo. Indichiamo con r il raggio di base, con h l'altezza, con a l'apotema, con Stot l'area della superficie, con Slat l'area della superficie laterale, con Sb l'area di base del cono e con V il volume.

 

In tabella riportiamo in grassetto le uniche formule da ricordare, dal momento che tutte le formule inverse possono essere ricavate con passaggi algebrici immediati.

 

 

Volume del cono

V=\frac{\pi r^2h}{3}

Raggio di base (dal volume)

r=\sqrt{\frac{3V}{\pi h}}

Altezza del cono (dal volume)

h=\frac{3V}{\pi r^2}

Volume (con area del cerchio di base)

V=\frac{S_{b}h}{3}

Apotema del cono (con altezza e raggio, teorema di Pitagora)

a=\sqrt{h^2+r^2}

Altezza (con apotema e raggio)

h=\sqrt{a^2-r^2}

Raggio (con apotema e altezza)

r=\sqrt{a^2-h^2}

Superficie totale del cono

S_{tot}=S_{lat}+S_b

Superficie laterale del cono

S_{lat}=S_{tot}-S_{b}

Superficie laterale del cono (con raggio e apotema)

S_{lat}=\pi r a

Raggio (con superficie laterale e apotema)

r=\frac{S_{lat}}{\pi a}

Apotema (con superficie laterale e raggio)

a=\frac{S_{lat}}{\pi r}

Superficie di base del cono

S_b=S_{tot}-S_{lat}

Superficie di base (con il raggio)

S_b=\pi r^2

Per le formule del cono equilatero

2r=a

Per il Pi Greco è possibile ricorrere all'approssimazione

\pi\simeq 3,14

 
 

Proprietà del cono

 

- Un cono è un solido di rotazione che viene generato facendo ruotare un triangolo rettangolo attorno ad uno dei due cateti.

 

- Un cono è equivalente (ha lo stesso volume) a un terzo di un cilindro avente base e altezza congruenti, rispettivamente, alla base e all'altezza del cono.

 

- Un cono è simmetrico rispetto all'altezza che congiunge il vertice con il centro del cerchio di base; in particolare tale altezza è l'asse di simmetria del cono.

 

- Un caso particolare di cono è dato dal cono equilatero, in cui per definizione il diametro di base è congruente all'apotema. Si noti la differenza rispetto alla definizione di cilindro equilatero in cui è richiesto che il diametro di base sia congruente all'altezza.

 

 

Problemi ed esercizi svolti sul cono

 

Lo sapete che abbiamo svolto parecchi esercizi e problemi sul cono? Più in generale qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e potete reperire tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna; ad esempio, abbiamo un comodo tool che permette di risolvere il cono online e di calcolarne volume, superficie laterale e totale semplicemente inserendo le misure di raggio e altezza. :)

 

 

Tchau, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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Tags: tutte le formule, le definizioni e le proprietà dei coni, con tantissimi esercizi svolti.

 

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