Tronco di piramide

Il tronco di piramide è un poliedro che si ottiene tagliando una piramide con un piano parallelo alla base; a seconda del tipo di piramide si può generare un tronco di piramide obliquo, retto o regolare.

 

Il tronco di piramide può essere definito a partire da qualsiasi tipo di piramide: obliqua, retta o regolare. Noi ci concentreremo sul caso del tronco di piramide retto e del tronco di piramide regolare, dove quest'ultimo rappresenta un caso particolare del precedente.

 

In questo formulario ne presentiamo le definizioni, le principali proprietà e tutte le formule da sapere per risolvere i problemi e gli esercizi. ;)

 

Definizione di tronco di piramide

 

Si definisce tronco di piramide il poliedro ottenuto tagliando una piramide con un piano parallelo al piano di base.

 

Se il tronco di piramide è ottenuto a partire da una piramide regolare, lo chiameremo tronco di piramide regolare; allo stesso modo, se è ottenuto da una piramide retta lo chiameremo tronco di piramide retto, mentre se è ottenuto da una piramide obliqua lo chiameremo tronco di piramide obliquo.

 

 

Tronco di piramide

Un tronco di piramide regolare a base quadrata,
o tronco di piramide regolare quadrangolare

 

 

In accordo con la definizione di piramide, un tronco di piramide può avere le basi date da un poligono qualsiasi, mentre nel caso regolare avrà le basi date da un poligono regolare qualsiasi. Definiamo inoltre

 

- le basi di un tronco di piramide: sono le due basi parallele del solido.

 

- l'altezza: è il segmento perpendicolare ad entrambe le basi.

 

- l'apotema (solo per il tronco di piramide retto e per quello regolare): è l'altezza dei trapezi che costituiscono la superficie laterale. 

 

Formule del tronco di piramide

 

Prima di elencare le formule del tronco di piramide specifichiamo la corrispondenza tra i nomi e i simboli che utilizzeremo. Chiamiamo h l'altezza, a l'apotema, 2pb il perimetro di base minore, 2pB il perimetro di base maggiore, Sb la superficie di base minore, SB la superficie di base maggiore, Slat l'area della superficie laterale, Stot l'area della superficie totale e V il volume del tronco di piramide.

 

Sottolineiamo che nella seguente tabella le formule si riferiscono unicamente al caso del tronco di piramide retto (e dunque anche al tronco di piramide regolare) perché non esistono formule degne di nota che valgano nel caso generale. Le formule in grassetto sono le uniche da ricordare; tutte le altre formule inverse possono essere ricavate con passaggi algebrici immediati.

 

 

Volume del tronco di piramide (qualsiasi)

V=\frac{(S_{B}+S_{b}+\sqrt{S_BS_b})\times h}{3}

Altezza del tronco di piramide (dal volume)

h=\frac{3V}{(S_B+S_b+\sqrt{S_BS_b})}

Superficie di base minore - maggiore

Dipende dal poligono di base!

Superficie totale del tronco di piramide (qualsiasi)

S_{tot}=S_{lat}+S_B+S_b

Superficie laterale (dalla totale)

S_{lat}=S_{tot}-S_{B}-S_{b}

Superficie di base minore (dalla totale)

S_b=S_{tot}-S_{lat}-S_{B}

Superficie di base maggiore (dalla totale)

S_B=S_{tot}-S_{lat}-S_{b}

Formule del tronco di piramide retto

Superficie laterale del tronco di piramide

S_{lat}=\frac{(2p_B+2p_b)\times a}{2}

Apotema (dalla superficie laterale)

a=\frac{2S_{lat}}{2p_B+2p_b}

Formule del tronco di piramide regolare

Per la superficie di base valgono le formule per lo specifico poligono regolare di base

 

Proprietà del tronco di piramide

 

È importante ricordare che, in una classificazione, un sottoinsieme eredita tutte le proprietà dell'insieme in cui è contenuto. Alla luce di ciò il tronco di piramide regolare eredita le proprietà del tronco di piramide retto, che a sua volta gode delle proprietà generali del tronco di piramide.

 

- In un tronco di piramide le facce della superficie laterale sono trapezi.

 

- In un tronco di piramide regolare i trapezi della superficie laterale sono trapezi isosceli congruenti tra loro.

 

- Il volume del tronco di piramide può essere calcolato come differenza tra i volumi di due piramidi; per l'area della superficie laterale vale un'osservazione del tutto analoga.

 

- L'area della superficie laterale di un tronco di piramide retto è uguale all'area del trapezio avente basi di lunghezza pari ai perimetri di base del tronco e altezza di lunghezza pari alla misura dell'apotema del tronco. Per dimostrare tale proprietà è sufficiente fare riferimento allo sviluppo del tronco di piramide su un piano.


- Teorema: in un tronco di piramide le basi sono poligoni simili (hanno aree e misure dei lati proporzionali).

 

- In un tronco di piramide i lati e i perimetri dei due poligoni di base sono proporzionali alle distanze dei rispettivi piani dal vertice della piramide (teorema di Talete).

 

In un tronco di piramide le superfici delle due basi sono proporzionali ai quadrati delle distanze dei rispettivi piani dal vertice della piramide.

 

 

Esercizi e problemi svolti sul tronco di piramide

 

Lo sapete che abbiamo svolto molti esercizi qui su YM? Se siete in cerca di problemi risolti sul tronco di piramide vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Tchau, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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