Piramide

Una piramide in Geometria è un poliedro costituito da una base data da un poligono qualsiasi e da un vertice esterno al piano della base. Le facce della superficie laterale di una piramide sono triangoli.

 

Occupiamoci delle piramidi: no, non stiamo parlando delle piramidi egizie, bensì delle piramidi in Geometria Solida! In questo formulario vediamo le definizioni di piramide, di piramide retta e di piramide regolare e le relative proprietà.

 

Nel farlo avremo un particolare occhio di riguardo per le formule che permettono di calcolare il volume e, nel caso della piramide retta, per quelle che consentono di calcolare l'apotema, comprese ovviamente tutte le varie formule inverse.

 

Definizione di piramide

 

Si definisce piramide un poliedro avente per base un poligono e avente un vertice che non appartiene al piano della base. Le facce di una piramide sono triangoli con base uno degli spigoli della base e aventi in comune il vertice della piramide.

 

Si noti che la definizione appena scritta è molto generale e può includere piramidi convesse o concave, intese come poliedri convessi o concavi, a seconda del poligono di base che si considera. Possiamo inoltre avere a che fare con piramidi oblique e con piramidi rette, così come con piramidi regolari e con piramidi irregolari.

 

In riferimento alla base, ci si può ad esempio riferire ad una piramide quadrangolare (con base un quadrilatero qualsiasi), ad una piramide triangolare (con base un triangolo), ad una piramide a base quadrata (con base un quadrato) o ancora ad una base esagonale (con base un esagono).

 

Come al solito non fatevi confondere dai nomi e tenete a mente la logica delle definizioni.

 

Definizione di piramide retta

 

Chiamiamo piramide retta una piramide tale che il poligono di base possa essere circoscritto ad una circonferenza, e tale che il piede dell'altezza della piramide coincida con il centro della circonferenza inscritta.

 

Prestate molta attenzione alla condizione di circoscrivibilità della base, perché è un aspetto che viene spesso trascurato dagli studenti!

 

Piramide retta

Una piramide retta con base data da un rombo

 

Definizione di piramide obliqua

 

Si definisce piramide obliqua una qualsiasi piramide che non sia retta.

 

Piramide obliqua

Una piramide obliqua a base triangolare

 

Definizione di piramide regolare

 

Si definisce piramide regolare una qualsiasi piramide retta che ha come base un poligono regolare.

 

Come esempio di piramide regolare possiamo considerare una piramide quadrangolare regolare (ossia una piramide a base quadrata) o anche una piramide pentagonale regolare (con base un pentagono regolare)

 

Piramide regolare

Piramide regolare pentagonale

Una piramide con base quadrata,
o piramide regolare quadrangolare
Una piramide regolare pentagonale

 

Vediamo le ultime definizioni:

 

- altezzasegmento che congiunge il vertice della piramide perpendicolarmente con il piano su cui giace la base. 

 

- apotema della piramide: (solo per piramidi rette e quindi anche per quelle regolari): è l'altezza di uno dei triangoli che costituiscono la superficie laterale (facce) rispetto al corrispondente spigolo di base.

 

Nota: alcuni testi e riferimenti utilizzano il termine apotema per indicare le altezze dei triangoli laterali rispetto agli spigoli di base solamente nel caso della piramide regolare. Poiché in una piramide retta, non necessariamente regolare, tali altezze sono comunque congruenti tra loro, per comodità utilizzeremo il termine apotema anche nel caso della piramide retta.

 

Classificazione delle piramidi

 

È estremamente utile riassumere le informazioni proposte fin qui in un'ottica insiemistica e ricorrendo ad un diagramma di Venn

 

 

Insieme delle piramidi

 

Formule della piramide

 

Possiamo finalmente passare ad elencare le formule della piramide nel caso generale, in quello retto e in quello regolare. Precisiamo i simboli che adotteremo: indichiamo con h l'altezza, con a l'apotema e con r il raggio della circonferenza inscritta (nel caso retto), con 2p il perimetro di base, con Sb l'area della superficie di base, con Slat l'area della superficie laterale, con Stot l'area della superficie totale e con V il volume.

 

Nella tabella riportiamo le formule principali in grassetto: tutte le altre formule inverse possono essere facilmente dedotte con passaggi algebrici immediati.

 

Volume della piramide (qualsiasi)

V=\frac{S_{b}\times h}{3}

Superficie di base (dal volume)

S_b=\frac{3V}{h}

Altezza (dal volume)

h=\frac{3V}{S_b}

Superficie totale della piramide (qualsiasi)

S_{tot}=S_{lat}+S_{b}

Superficie laterale (dalla totale)

S_{lat}=S_{tot}-S_{b}

Superficie di base (dalla totale)

S_{b}=S_{tot}-S_{lat}

Superficie di base

Dipende dal poligono di base!

Formule della piramide retta

 

Superficie laterale della piramide

S_{lat}=\frac{2p\times a}{2}

Perimetro di base (con superficie laterale)

2p=\frac{2S_{lat}}{a}

Apotema della piramide retta (con superficie laterale)

a=\frac{2S_{lat}}{2p}

Raggio della circonferenza inscritta nella base

r=\frac{2S_b}{2p}

Perimetro di base (con il raggio)

2p=\frac{2S_b}{r}

Superficie di base (con il raggio)

S_b=\frac{2p\times r}{2}

Apotema della piramide (teorema di Pitagora)

a=\sqrt{h^2+r^2}

Raggio di base (con l'apotema)

r=\sqrt{a^2-h^2}

Altezza (con l'apotema)

h=\sqrt{a^2-r^2}

Formule della piramide regolare

Tenere a mente le formule per il poligono regolare di base.

 

 

Proprietà della piramide

 

Nello studio delle proprietà è bene ricordare che un sottoinsieme eredita sempre le proprietà dell'insieme che lo contiene,di conseguenza le proprietà di una piramide retta varranno anche per le piramidi regolari.

 

- Le facce laterali di una piramide sono triangoli.

 

- In una piramide retta le altezze dei triangoli che formano la superficie laterale sono congruenti. Per capirlo è sufficiente ricorrere al teorema di Pitagora e ragionare con l'altezza della piramide e con il raggio della circonferenza inscritta. Ognuna di tali altezze è quindi un apotema per la piramide.

 

- In una piramide retta la proiezione ortogonale del vertice sul piano di base coincide con il centro della circonferenza inscritta nella base.

 

- Le facce laterali di una piramide regolare sono triangoli isosceli congruenti tra loro.

 

- Gli spigoli laterali di una piramide regolare sono tutti congruenti.

 

- Teorema: se due piramidi hanno basi equivalenti (stessa area) e altezze congruenti, allora le sezioni parallele alle basi e equidistanti dalle basi sono equivalenti.

 

- Un particolare tipo di piramide è dato dal tetraedro, che è formato da quattro triangoli. Il tetraedro regolare è l'unico tipo di solido platonico che rientra nella famiglia delle piramidi: è una piramide regolare ed è costituito da quattro triangoli equilateri.

 

 

Problemi ed esercizi svolti sulle piramidi


Lo sapete che abbiamo svolto molti esercizi sulle piramidi, e che qui su YM  c'è anche un tool per risolvere la piramide regolare online? Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Tchau, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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