Solidi platonici

I solidi platonici, detti anche poliedri regolari o poliedri platonici, sono poliedri con facce date da poligoni regolari e tali da essere tutte uguali tra loro. In tutto ci sono 5 tipi di solidi platonici: il tetraedro regolare, il cubo (o esaedro regolare), l'ottaedro regolare, il dodecaedro regolare e l'icosaedro regolare.

 

In questo formulario proponiamo la definizione di solido platonico, presentando tutti i tipi di poliedri regolari e le principali proprietà e formule dei solidi platonici. Li tratteremo poi nel dettaglio in cinque formulari a parte.

 

Quasto particolare tipo di solidi riveste una grande importanza negli studi scolastici a partire dalle scuole medie fino ad arrivare alla seconda prova di Matematica. Ciò è dovuto al fatto che le perfette simmetrie, la loro ricorrenza in natura e le forme dei solidi platonici, così chiamati in onore di Platone, hanno da sempre ispirato l'Arte e la Filosofia.

 

Definizione di solido platonico

 

Partiamo dalla definizione dei solidi platonici. Diciamo poliedro platonico (o regolare) un qualsiasi poliedro convesso avente come facce dei poligoni regolari e tale da avere tutte le facce uguali tra loro.

 

Alla luce della definizione è facile intuire che, tra tutti i solidi, i solidi platonici presentano il massimo grado possibile di simmetria: in un poliedro regolare tutti gli spigoli e tutti gli angoli solidi sono congruenti tra loro.

 

Quanti sono i solidi platonici?

 

solidi platonici sono 5 in tutto, e sono in particolare: il tetraedro regolare, il cubo (o esaedro regolare), l'ottaedro regolare, il dodecaedro regolare e l'icosaedro regolare.

 

 

Tetraedro (regolare)

Cubo (esaedro regolare)

Ottaedro (regolare)

Dodecaedro (regolare)

Icosaedro (regolare)

Tetraedro regolare Cubo Ottaedro regolare Dodecaedro regolare Icosaedro regolare

4 facce

Triangolo equilatero

6 facce

Quadrato

8 facce

Triangolo equilatero

12 facce

Pentagono regolare

20 facce

Triangolo equilatero

 

 

Se vi state domandando perché i solidi platonici sono esattamente cinque, sappiate che esistono diverse dimostrazioni di questo fatto. Per dimostrare che esistono solo 5 tipi di poliedri regolari si può procedere con un approccio di tipo geometrico o algebrico; mentre la dimostrazione algebrica si basa essenzialmente sulla relazione di Eulero tra facce, spigoli e vertici, il procedimento geometrico si basa su osservazioni relative agli angoloidi, ossia ai possibili angoli solidi che si vengono a formare in corrispondenza dei vertici.

 

Limitiamoci alla dimostrazione geometrica con gli angoloidi e procediamo per passi.

 

1) Ogni angoloide deve essere formato da almeno 3 facce.

 

2) La somma degli angoli di ciascuna faccia che convergono su un medesimo angoloide, intesi come angoli dei poligoni che costituiscono le facce, deve essere minore di un angolo giro.

 

3) Poiché i poligoni che formano un solido platonico devono essere regolari, gli angoli del punto 2) devono avere un'ampiezza al massimo pari a 360°:3=120°.

 

4) I poligoni regolari con più di 5 lati presentano angoli superiori a 120°, pertanto gli unici poligoni regolari che possono formare i solidi platonici sono il triangolo equilatero, il quadrato ed il pentagono regolare.

 

5) Ragioniamo caso per caso:

 

- se consideriamo il triangolo equilatero, possiamo avere 3, 4 o 5 triangoli che insistono su uno stesso vertice, a cui corrisponde rispettivamente una somma di ampiezze pari a 180°, 240° e 300°. Da qui i poliedri regolari che ricaviamo sono il tetraedro regolare, l'ottaedro regolare e l'icosaedro regolare.

 

- Se consideriamo il quadrato, possiamo avere solamente 3 quadrati che insistono sullo stesso vertice, a cui corrisponde una somma di ampiezze pari a 270°. Il solido platonico corrispondente è il cubo (esaedro regolare).

 

- Infine se consideriamo il pentagono regolare, possiamo avere 3 pentagoni che insistono su uno stesso vertice, a cui corrisponde una somma di ampiezze pari a 324°. Il poliedro platonico corrispondente è il dodecaedro regolare.

 

Caratteristiche e proprietà dei solidi platonici

 

Qui di seguito riportiamo una tabella riepilogativa con le principali proprietà dei solidi platonici. Per brevità omettiamo l'aggettivo regolare sottintendendolo.

 

 

Facce

Vertici

Spigoli

Poligono regolare

Spigoli in un vertice

Angoli solidi

Tetraedro

4

4

6

Triangolo equilatero

3

70°32'

Cubo

(Esaedro)

6

8

12

Quadrato

3

90°

Ottaedro

8

6

12

Triangolo equilatero

4

~109.47122°

Dodecaedro

12

20

30

Pentagono

3

~116,55°

Icosaedro

20

12

30

Triangolo equilatero

5

~138.19°

 

 

Oltre alle proprietà generali dei poliedri, i solidi platonici soddisfano specifiche proprietà:

 

- ogni solido platonico possiede un centro, dal quale sono equidistanti sia i vertici che le facce.

 

- La distanza di un qualsiasi vertice dal centro si chiama raggio del poliedro regolare.

 

- Ad eccezione del tetraedro, le facce opposte sono a due a due parallele come lo sono anche gli spigoli: per questo motivo si parla di facce opposte, spigoli opposti e vertici opposti.

 

Formule dei solidi platonici 

 

Per quanto riguarda le formule dei solidi platonici, come abbiamo già anticipato avremo modo di trattarle nel dettaglio nei vari formulari dedicati a ciascuno dei 5 tipi di poliedri regolari. Qui riportiamo una tabella riepilogativa utile per il confronto tra le varie formule. L indica la misura dello spigolo, V il volume e S_{tot} la superficie totale.

 

 

Volume

Superficie totale

Tetraedro

V=L^3\cdot \frac{\sqrt{2}}{12} S_{tot}=L^2\cdot \sqrt{3}

Cubo

(Esaedro)

V=L^3 S_{tot}=L^2\cdot 6

Ottaedro

V=L^3\cdot \frac{\sqrt{2}}{3} S_{tot}=L^2\cdot 2\sqrt{3}

Dodecaedro

V=L^3\cdot \frac{15+7\sqrt{5}}{4} S_{tot}=L^2\cdot 15\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}

Icosaedro

V=L^3\cdot \frac{5(3+\sqrt{5})}{12} S_{tot}=L^2\cdot 5\sqrt{3}

 

 

Formule per la misura del raggio della sfera inscritta, circoscritta e tangente agli spigoli

 

 

Inscritta

Circoscritta

Tangente
agli spigoli

Tetraedro

L\cdot \frac{\sqrt{6}}{12}

L\cdot \frac{\sqrt{6}}{4}

L\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}

Cubo

(Esaedro)

\frac{L}{2}

L\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

L\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

Ottaedro

L\cdot \frac{\sqrt{6}}{6}

L\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{L}{2}

Dodecaedro

\frac{L}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}}

L\cdot \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}{4}

L\cdot \frac{1}{4}(3+\sqrt{5})

Icosaedro

L\cdot \frac{\sqrt{3}}{12}(3+\sqrt{5})

L\cdot \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}

L\cdot \frac{1+\sqrt{5}}{4}

 

 

Esercizi e problemi svolti sui solidi platonici

 

Lo sapete che abbiamo svolto molti problemi sui solidi platonici? Sono tutti a portata di click e li potete trovare con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Tchau, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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