Cubo (Esaedro regolare)

Il cubo, o esaedro regolare, è un poliedro formato da 6 facce, 8 vertici e 12 spigoli. Il cubo è un particolare tipo di esaedro, ed è un solido platonico avente come facce 6 quadrati uguali tra loro, spigoli congruenti e angoli diedrali pari a 90°.

 

Partendo dalla definizione, in questo formulario passiamo in rassegna tutte le formule del cubo grazie alle quali è possibile risolvere qualsiasi problema di Geometria per le scuole medie e per le scuole superiori. Nello specifico ci soffermeremo sulle formule inverse per il volume del cubo, per la superficie totale e per la diagonale, oltre a prendere in considerazione quelle relative alla sfera inscritta e a quella circoscritta.

 

Per concludere elencheremo le principali proprietà del cubo mettendone in luce le più importanti caratteristiche geometriche. Attenzione a non fare confusione: come abbiamo già scritto il cubo è un particolaretipo di esaedro ed è nella fattispecie un esaedro regolare. Qui per questioni di chiarezza ci limiteremo a fornire la definizione di esaedro ma non ci soffermeremo sulle formule nel caso generale, semplicemente perché non esistono formule che valgano per qualsiasi possibile esaedro. ;)

 

Definizione di cubo

 

Richiamiamo la definizione di cubo e, per completezza d'esposizione, proponiamo anche la definizione di esaedro.

 

Un cubo, o esaedro regolare, è un poliedro con sei facce quadrate perpendicolari a due a due tra loro e congruenti.

 

- In accordo con il significato del termine (dal greco esa - sei - ed edro - base), un esaedro è un qualsiasi poliedro convesso o concavo con 6 facce.

 

Ciascuna faccia può essere data da un poligono qualsiasi purché la costruzione geometrica sia concorde con il numero di facce previsto dalla definizione; possiamo quindi avere quadrilateri, triangoli e pentagoni (come nel caso di una piramide a base pentagonale), ma anche poligoni concavi con 6 lati. Le possibili configurazioni geometriche sono tantissime!

 

- Un cubo è un esaedro regolare. In altri termini, il cubo è un poliedro platonico con 6 facce uguali tra loro ed in cui ciascuna faccia è costituita da un quadrato.

 

 

Cubo

Cubo (esaedro regolare)

 

Sviluppo del cubo

 

Lo sviluppo piano del cubo si ottiene tagliando la superficie lungo alcuni spigoli (senza deformarla né disconnetterla), in modo da portare le facce tutte sullo stesso piano. Vi raccomandiamo di non confondere lo sviluppo piano con la proiezione ortogonale del cubo sul piano di base.

 

 

Sviluppo piano del cubo

Sviluppo piano del cubo

 

Formule del cubo

 

Passiamo ad elencare le formule del cubo, ma prima facciamo un paio di precisazioni. Qui ci limitiamo esclusivamente a considerare l'esaedro regolare, vale a dire il cubo, e non trattiamo in alcun modo le formule dell'esaedro qualsiasi; questo perché non è possibile scrivere delle formule valide per qualsiasi tipo di esaedro.

 

Specifichiamo la corrispondenza tra i simboli e gli elementi del cubo: chiamiamo L la misura dello spigolo, h l'altezza, D la diagonale del cubo, d la diagonale di base, Stot l'area della superficie totale, Slat l'area della superficie laterale, Sb l'area della superficie di base, V il volume del cubo ed infine indichiamo con R il raggio della sfera circoscritta e con r il raggio della sfera inscritta.

 

Nella tabella evidenziamo in grassetto le formule del cubo più importanti, vale a dire quelle che converrebbe ricordare a memoria; tutte le altre formule inverse possono essere ricavate con semplici passaggi algebrici dall precedenti.

 

 

Volume del cubo

V=L^3

Spigolo del cubo (dal volume)

L=\sqrt[3]{V}

Diagonale del cubo (con lo spigolo, teorema di Pitagora)

D=L\sqrt{3}

Spigolo del cubo (con la diagonale)

L=\frac{D}{\sqrt{3}}

Superficie totale del cubo

S_{tot}=S_{lat}+2S_{b}

Superficie totale del cubo (con lo spigolo)

S_{tot}=6L^2

Spigolo (dalla superficie totale)

L=\sqrt{\frac{S_{tot}}{6}}

Superficie totale del cubo (con la diagonale)

S_{tot}=2D^2

Diagonale (dalla superficie totale)

D=\sqrt{\frac{S_{tot}}{2}}

Superficie laterale del cubo

S_{lat}=S_{tot}-2S_{base}

Superficie laterale del cubo (con lo spigolo)

S_{lat}=4L^2

Spigolo (dalla superficie laterale)

L=\sqrt{\frac{S_{lat}}{h}}

Altezza del cubo

h=L

Altezza del cubo (inteso come parallelepipedo rettangolo)

h=\frac{V}{S_b}

Volume del cubo (inteso come parallelepipedo rettangolo)

V=S_{b}h

Superficie di base del cubo

S_b=\frac{S_{tot}-S_{lat}}{2}

Superficie di base del cubo (con lo spigolo, area del quadrato)

S_b=L^2

Spigolo (dalla superficie di base)

L=\sqrt{S_{b}}

Diagonale di base del cubo (con lo spigolo, teorema di Pitagora)

d=L\sqrt{2}

Spigolo (dalla diagonale di base)

L=\frac{d}{\sqrt{2}}

Formule per il cubo inscritto in una sfera

Raggio (dallo spigolo)

R=\frac{\sqrt{3}}{2}L

Spigolo (dal raggio)

L=\frac{2}{\sqrt{3}}R

Formule per il cubo circoscritto ad una sfera

Raggio (dallo spigolo)

r=\frac{L}{2}

Spigolo (dal raggio)

L=2r

Relazione tra i raggi

R=\sqrt{3}\cdot r

Nota: è bene tenere a mente le formule del quadrato.

 

Proprietà del cubo

 

- Il cubo è un poliedro convesso.

 

- Facce, spigoli, vertici: un cubo ha 6 facce, 8 vertici e 12 spigoli.

 

- In ciascuno dei vertici del cubo insistono 3 spigoli.

 

- Tutti gli spigoli di un cubo sono congruenti tra loro.

 

- Ogni faccia è un quadrato e tutte le facce sono congruenti tra loro.

 

- Il cubo è un solido platonico ed ha come facce poligoni regolari tutti uguali tra loro, ciascuna delle quali consiste in un quadrato. Gli altri poliedri regolari sono il tetraedro, l'ottaedro, il dodecaedro e l'icosaedro.

 

- Un cubo è un parallelepipedo, ed in particolare è un parallelepipedo rettangolo regolare.

 

- Un cubo è un particolare tipo di prisma con base quadrata e l'altezza pari alla lunghezza del lato di base.

 

- Gli angoli diedrali interni misurano tutti 90°.

 

- Come qualsiasi altro solido platonico il cubo si può inscrivere e circoscrivere ad una sfera.

 

- Conoscendo il raggio di una delle due sfere inscritta o circoscritta si può calcolare la misura dello spigolo del cubo e conseguentemente ogni altro suo elemento: volume, superficie totale, superficie laterale e altezza.

 

- I centri della sfera inscritta e circoscritta al cubo ne costituiscono il centro di simmetria.

 

 

Problemi ed esercizi svolti sui cubi

 

Lo sapete che qui su YM ci sono molti esercizi e problemi sul cubo, tutti svolti e spiegati passo-passo? Tra le altre cose c'è anche un comodo tool per risolvere il cubo online. ;)

 

 

Tchau, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

 

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Tags: tutte le formule, le definizioni e le proprietà sul cubo, con tantissimi problemi svolti.

 

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