Parallelepipedo rettangolo

Il parallelepipedo è un prisma con basi date da due parallelogrammi; un parallelepipedo retto è un prisma retto avente come basi due parallelogrammi; un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo retto avente come basi due rettangoli.

 

In questo formulario studiamo nel dettaglio la famiglia dei parallelepipedi proponendone la classificazione e tutte le proprietà che li contraddistinguono. Per agevolare il vostro studio enunciamo le definizioni nelle principali forme equivalenti in cui possono essere scritte, in modo da fornirvi un quadro completo della teoria. Dopo aver definito il parallelepipedo e spiegato quali sono le differenze tra un parallelepipedo retto ed uno obliquo, ci concentriamo sulle formule del parallelepipedo rettangolo poiché è il poliedro che ricorre più frequentemente nei problemi e negli esercizi delle scuole medie e superiori.

 

Prima di procedere conviene sapere le varie definizioni relative al prisma, dal momento che il parallelepipedo è un caso particolare di prisma, e tenere bene a mente che un rettangolo è un particolare tipo di parallelogramma.

 

Definizione di parallelepipedo

 

Un parallelepipedo è un poliedro con due basi date da due parallelogrammi congruenti e paralleli e avente come facce laterali quattro parallelogrammi. In modo equivalente, un parallelepipedo è un prisma avente come basi due parallelogrammi.

 

Dalla definizione si evince che un parallelepipedo è sempre un poliedro convesso; in particolare possiamo distinguere tra parallelepipedo obliquo e parallelepipedo retto.

 

Definizione di parallelepipedo obliquo

 

Un parallelepipedo obliquo è un parallelepipedo in cui gli spigoli della superficie laterale non sono paralleli all'altezza. In altri termini, in un parallelepipedo obliquo le facce della superficie laterale sono parallelogrammi ma non possono essere rettangoli.

 

In modo equivalente un parallelepipedo obliquo è un prisma obliquo avente come basi due parallelogrammi.

 

Parallelepipedo obliquo

Parallelepipedo obliquo

 

Definizione di parallelepipedo retto

 

Un parallelepipedo retto è un parallelepipedo avente come facce della superficie laterale dei rettangoli, per cui gli spigoli della superficie laterale sono tutti paralleli tra loro, paralleli all'altezza e perpendicolari alle basi.

 

Equivalentemente un parallelepipedo retto è un prisma retto avente come basi due parallelogrammi.

 

 

Parallelepipedo retto

Parallelepipedo retto

 

Si capisce facilmente che in un parallelepipedo retto la proiezione ortogonale di una base sull'altra coincide con la base stessa.

 

Definizione di parallelepipedo rettangolo

 

Un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo retto in cui le basi sono date da due rettangoli.

 

In modo del tutto equivalente un parallelepipedo rettangolo può essere definito come:

 

- un prisma retto avente come basi due rettangoli;

 

- un esaedro avente come facce dei rettangoli;

 

- un poliedro che ha come facce 6 rettangoli.  

 

Parallelepipedo rettangolo

Parallelepipedo rettangolo

 

Classificazione dei parallelepipedi

 

Per fissare le idee può essere utile esprimere la classificazione dei parallelepipedi mediante un diagramma di Venn

 

Insieme dei parallelepipedi rettangoli

Insieme dei parallelepipedi e relativa classificazione

 

Formule del parallelepipedo rettangolo

 

Nota bene: le formule del parallelepipedo non sono altro che una particolarizzazione delle formule del prisma, quindi qui di seguito non scriveremo alcuna formula per il parallelepipedo qualsiasi.

 

Se ad esempio volessimo calcolare il volume di un parallelepipedo qualsiasi potremmo ricorrere alla formula per il volume del prisma V=S_bh, dove l'area di base S_b è per definizione l'area di un parallelogramma.

 

Qui ci limitiamo piuttosto alle formule del parallelepipedo rettangolo perché in tale caso si caratterizzano molto facilmente. Indichiamo con a, b le dimensioni del rettangolo di base, con d la diagonale di base, con 2p il perimetro di base, con Sb l'area della superficie di base, con D la diagonale del parallelepipedo rettangolo, con h la sua altezza, con Slat l'area della superficie laterale, con Stot l'area della superficie totale e von V il volume.

 

 

Volume (con la superficie di base)

V=S_{b}\cdot h

Volume del parallelepipedo rettangolo

V=abh

Superficie totale

S_{tot}=S_{lat}+2S_{b}

Superficie totale del parallelepipedo rettangolo

S_{tot}=2(ab+ah+bh)

Superficie laterale (dalla totale)

S_{lat}=S_{tot}-2S_{b}

Superficie laterale (con il perimetro di base)

S_{lat}=2p\cdot h

Superficie laterale del parallelepipedo rettangolo

S_{lat}=2(ah+bh)

Superficie di base (dalla totale)

S_{b}=\frac{S_{tot}-S_{lat}}{2}

Superficie di base (dal volume)

S_b=\frac{V}{h}

Superficie di base del parallelepipedo rettangolo (area del rettangolo)

S_b=ab

Altezza (dal volume)

h=\frac{V}{S_b}

Altezza (dalla superficie laterale)

h=\frac{S_{lat}}{2p}

Perimetro di base (perimetro del rettangolo)

2p=2a+2b

Perimetro di base (dalla superficie laterale)

2p=\frac{S_{lat}}{h}

Diagonale del parallelepipedo rettangolo (teorema di Pitagora)

\\ D=\sqrt{d^2+h^2}\\ \\ D=\sqrt{a^2+b^2+h^2}

Nota: tenere a mente le formule del rettangolo.

 

Proprietà del parallelepipedo rettangolo

 

Poiché abbiamo già esposto le principali proprietà del parallelepipedo nell'ambito delle definizioni, passiamo direttamente all'elenco delle più importanti proprietà del parallelepipedo rettangolo.

 

- Le facce sono a due a due congruenti (facce opposte).

 

- Le facce giacciono su piani a due a due paralleli.

 

- Facce, spigoli, vertici: è un poliedro ed un particolare prisma retto, avente 6 facce, 12 spigoli e 8 vertici.

 

- Un parallelepipedo rettangolo è un prisma retto a base rettangolare.

 

- Tutti gli angoli diedri interni hanno un'ampiezza pari a 90°.

 

- Ricordando che un quadrato è un particolare tipo di rettangolo, si intuisce facilmente che il cubo (o esaedro regolare) è un particolare tipo di parallelepipedo rettangolo. In particolare il cubo è l'unico solido platonico che rientra nella famiglia dei prismi.

 

 

Problemi ed esercizi svolti sul parallelepipedo rettangolo

 

Lo sapete che abbiamo svolto molti esercizi sul parallelepipedo rettangolo? Più in generale ricordatevi che qui su YM ci sono migliaia di problemi risolti dallo Staff e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Tchau, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: tutte le formule, le definizioni e le proprietà del parallelepipedo rettangolo, con tantissimi esercizi svolti.

 

pbgs