Poliedri

I poliedri in Geometria sono particolari solidi, e per definizione sono figure solide delimitate da un numero finito di facce poligonali, ossia sono solidi la cui superficie è formata da poligoni. I poliedri ammettono una classificazione in poliedri regolari, detti anche solidi platonici, e in poliedri irregolari.

 

In questo formulario vediamo la definizione di poliedro e presentiamo la classificazione dei poliedri, elencando i vari nomi e le principali proprietà che caratterizzano questo particolare tipo di solidi. Per quanto riguarda le formule dei poliedri, le presenteremo nelle lezioni successive man mano ne che tratteremo ogni specifico tipo.

 

Questa lezione si rivolge principalmente agli studenti delle scuole medie e delle scuole superiori. Per chi fosse interessato alla guida didattica per le scuole elementari può trovarla qui: solidi per la scuola primaria.

 

Definizione di poliedro

 

Si definisce poliedro un qualsiasi solido formato da facce poligonali piane, ovvero un solido avente come facce poligoni che giacciono su piani distinti e tali da avere ogni lato in comune con una sola altra faccia. 

 

La definizione di poliedro viene spesso trasposta nel linguaggio comune, in cui viene utilizzato l'aggettivo poliedrico per indicare una persona o una situazione dotata di molteplici aspetti (o molteplici facce).

 

In particolare, la definizione di poliedro appena proposta è estremamente generica ed individua una famiglia vastissima di solidi. Per avere un poliedro è sufficiente infatti considerare un solido la cui superficie è costituita esclusivamente da facce poligonali piane, indipendentemente dalla forma e dal numero.

 

Volete degli esempi di poliedri? Eccovi accontentati! ;)

 

 

Prisma

Cubo

Prisma retto come esempio di poliedro Esempio di poliedro: il cubo

Piramide

Tronco di piramide

Esempio di poliedro piramide Esempio di poliedro: il tronco di piramide

 

 

Vale la pena di richiamare brevemente i nomi dei principali elementi caratteristici dei poliedri, delle quali ci siamo già occupati nella lezione sui solidi geometrici:

 

- faccia: una faccia di un poliedro è uno dei poligoni che delimita il poliedro stesso.

 

vertice: si dice vertice di un poliedro uno qualsiasi dei vertici delle facce del poliedro.

 

- spigolo: si definisce spigolo uno qualsiasi dei lati delle facce del poliedro.

 

- diagonale: si chiama diagonale di un poliedro un segmento che congiunge una coppia di vertici non consecutivi (che non sono cioè collegati da alcun spigolo).

 

Classificazione dei poliedri

 

Poiché il termine poliedro indica una vasta famiglia di solidi possiamo fornire diverse classificazioni dei poliedri più o meno generali. Non scoraggiatevi perché in fin dei conti non c'è nulla di difficile.

 

Come al solito procediamo con ordine e, per semplificare il vostro studio, ci concentriamo sui concetti e sulle caratteristiche su cui vengono effettuate le classificazioni, per poi trattare il tutto nelle relative lezioni di approfondimento. In Matematica l'approccio dal generale al particolare ripaga sempre. ;)

 

Poliedri convessi e poliedri concavi

 

Una prima classificazione dei poliedri riguarda la proprietà di convessità. Esattamente come abbiamo fatto nel caso dei poligoni convessi e concavi, si distingue tra:

 

- poliedri convessi. Comunque si considerano due punti interni al poliedro, il segmento che congiunge tali punti è interamente contenuto nel poliedro. In modo del tutto equivalente diciamo che un poliedro è convesso se, per ogni faccia, il piano che la contiene divide lo spazio in due parti ed il poliedro è interamente contenuto in uno dei due semispazi. Ancora, diciamo che un poliedro è convesso se il segmento che unisce due vertici qualsiasi è interamente contenuto nel solido.

 

- poliedri concavi. I poliedri concavi sono tutti e soli i poliedri che non sono convessi.

 

 

Poliedri convessi e poliedri concavi

Un poliedro convesso (a sinistra) e un poliedro concavo (a destra)

 

Poliedri regolari e poliedri irregolari

 

La classificazione principale a cui si fa riferimento suddivide i poliedri in due categorie:

 

poliedri regolari, detti anche poliedri platonici o solidi platonici

 

poliedri irregolari.

 

I poliedri regolari sono caratterizzati da due proprietà: le facce devono essere poligoni regolari e tutte le facce devono essere uguali tra loro. Vengono anche detti solidi platonici in onore di Platone, che dedicò ad essi buona parte dei propri studi.

 

A discapito di quanto si possa immaginare in Geometria esistono solamente 5 tipi di poliedri platonici, e rientrano nel gruppo dei poliedri convessi.

 

 

Tetraedro (regolare)

Cubo (esaedro regolare)

Ottaedro (regolare)

Dodecaedro (regolare)

Icosaedro (regolare)

Tetraedro regolare Cubo Ottaedro regolare Dodecaedro regolare Icosaedro regolare

4 facce

Triangolo equilatero

6 facce

Quadrato

8 facce

Triangolo equilatero

12 facce

Pentagono regolare

20 facce

Triangolo equilatero

 

 

Tra i poliedri irregolari rientrano invece tutti i poliedri che non sono regolari. Qui c'è veramente da sbizzarrirsi perché negando la definizione di poliedro regolare, e mantenendo la definizione generale di poliedro, scopriamo che i poliedri irregolari possono avere facce poligonali di ogni tipo e anche diverse tra loro.

 

Intendiamoci: fornire una classificazione completa e dettagliata dei poliedri irregolari è un compito difficilissimo perché le varianti sono troppe, e riguarda solamente chi studia i solidi a livelli veramente avanzati (facoltà universitaria di Matematica). A scuola invece ci si accontenta di una classificazione dei poliedri irregolari più comuni ed è qui che ci limiteremo anche noi. :)

 

In questo contesto ci limiteremo a dire che i poliedri irregolari possono essere convessi o concavi.

 

Tipi di poliedri più comuni

 

Eccoci alla terza classificazione, assolutamente incompleta ma estremamente utile negli studi, nella pratica e nella vita quotidiana. Consideriamo tre particolari famiglie di poliedri convessi.

 

1) Il prisma

 

Per definizione ha due poligoni paralleli ed uguali che prendono il nome di basi, e presentano dei parallelogrammi come facce laterali. Nell'insieme dei prismi rientra ad esempio il parallelepipedo. Tra i prismi possono esserci sia poliedri regolari (l'unico caso è rappresentato dal cubo), sia poliedri irregolari.

 

2) La piramide

 

Ha un poligono di base ed un vertice che non appartiene al piano della base, e presenta dei triangoli come facce laterali. Tra le piramidi l'unico caso di poliedro regolare è dato dal tetraedro regolare, mentre qualsiasi altro tipo di piramide è un poliedro irregolare.

 

3) Il tronco di piramide

 

È il poliedro che si ottiene tagliando una piramide con un piano parallelo alla base.

 

Ognuna di queste famiglie presenta ulteriori sotto-classificazioni che presenteremo nelle varie lezioni ad esse dedicate.

 

Proprietà dei poliedri

 

Al di là delle proprietà richieste dalla definizione e della proprietà di convessità o di concavità, tutti i poliedri presentano un'unica caratteristica comune. Essi soddisfano la relazione di Eulero tra facce, spigoli e vertici: il teorema di Eulero consiste in una formula che lega tra loro il numero di facce F, di vertici V e di spigoli S che un poliedro può avere

 

F+V=S+2

 

 

Esercizi e problemi svolti sui poliedri

 

Qui su YM abbiamo svolto molti esercizi e problemi sui poliedri, e potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. A proposito: c'è anche un interessante tool per i poliedri online. ;)

 

 

Sayonara, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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