Prisma retto, prisma regolare

In questo formulario ci occupiamo del prisma retto e del prisma regolare, proponendone le formule e le definizioni.

 

Nella lezione su prismi e parallelepipedi abbiamo fornito una panoramica sulla particolare famiglia di poliedri costituita dai prismi, e ci siamo limitati a fornire le classificazioni e le definizioni mostrando in particolare come il parallelepipedo sia un caso particolare di prisma.

 

Qui riprendiamo tutto ciò che riguarda il prisma ed in particolare la definizione di prisma retto e di prisma regolare. Fatto ciò passeremo ad elencare le formule del prisma e le proprietà in questi casi specifici, dal momento che non è possibile fornire formule per il caso più generale possibile. Nessun problema comunque: negli esercizi e nei problemi di scuole medie e superiori gli unici casi che si considerano sono quelli di prisma retto e regolare. ;)

 

Definizione di prisma

 

Si definisce prisma un qualsiasi poliedro avente due basi costituite da poligoni uguali disposti su piani paralleli, e come facce laterali dei parallelogrammi. Possiamo in particolare distinguere tra prisma obliquo e prisma retto.

 

Un prisma può avere basi date da un poligono qualsiasi. Si può ad esempio parlare di prisma quadrangolare (con base un quadrilatero qualsiasi), di prisma esagonale (con un esagono di base), di prisma decagonale (con un decagono di base) e via discorrendo.

 

Attenzione: non fatevi trarre in inganno dai nomi. Ricordiamoci che un parallelepipedo è per definizione un prisma che ha come basi dei parallelogrammi. Talvolta vi capiterà di sentir parlare di prisma a base quadrata o di prisma a base rettangolare; ricordando che il quadrato è un particolare tipo di rettangolo, che a sua volta è un particolare tipo di parallelogramma, un prisma a base quadrata ed un prisma a base rettangolare rientrano nella famiglia dei parallelepipedi.

 

Il succo dell'osservazione è semplice: nomi diversi possono riferirsi ad uno stesso concetto. Abbiate pazienza e non lasciatevi confondere. ;)

 

Definizione di prisma obliquo

 

Si definisce prisma obliquo un qualsiasi prisma avente come facce laterali dei parallelogrammi ed in cui l'altezza non è parallela ad alcuno degli spigoli laterali.

 

Prisma obliquo triangolare

Un prisma obliquo a base triangolare

 

Definizione di prisma retto

 

Si definisce prisma retto un prisma avente come facce laterali dei rettangoli che sono perpendicolari ai piani contenenti le basi.

 

Prisma retto

Un prisma retto triangolare

 

Definizione di prisma regolare

 

Un prisma regolare è un prisma retto avente per base un poligono regolare; in tale eventualità i rettangoli che costituiscono la superficie laterale sono tutti congruenti tra loro.

 

Ad esempio un prisma quadrangolare regolare ha per base un quadrato, mentre un prisma triangolare regolare ha per base un triangolo equilatero.

 

Prisma retto

Un prisma triangolare regolare

 

Classificazione dei prismi

 

Riassumendo le relazioni tra i vari tipi di prismi con un opportuno diagramma di Eulero-Venn, abbiamo:

 

 

Relazione tra prisma retto e prisma regolare con gli insiemi

Classificazione dei prismi

 

Formule del prisma retto e del prisma regolare

 

Ora che abbiamo un'idea precisa della nomenclatura siamo pronti per passare alle formule del prisma nel caso generale, retto e regolare. Ovviamente il caso regolare eredita tutte le formule del caso retto. Chiamiamo h l'altezza, 2p il perimetro di base, Sb l'area della superficie di base, Slat l'area della superficie laterale, Stot l'area della superficie totale e V il volume del prisma.

 

In tabella evidenziamo in grassetto le uniche formule che conviene ricordare: tutte le altre formule inverse possono essere ricavate con passaggi algebrici immediati. Notate inoltre come l'area della superficie di base sia indicata in termini generici perché ciascun poligono presenta una propria formula specifica. Eventualmente un ripasso di Geometria piana potrà tornarvi utile. ;)

 

 

Volume del prisma

V=S_{b}\times h

Superficie di base (dal volume)

S_b=\frac{V}{h}

Altezza (dal volume)

h=\frac{V}{S_b}

Superficie totale del prisma

S_{tot}=S_{lat}+2S_{b}

Superficie laterale (dalla totale)

S_{lat}=S_{tot}-2S_{b}

Superficie di base (dalla totale)

S_b=\frac{S_{tot}-S_{lat}}{2}

Superficie di base

Dipende dal poligono di base!

Formule del prisma retto

Superficie laterale del prisma retto

S_{lat}=2p\times h

Altezza (dalla superficie laterale)

h=\frac{S_{lat}}{2p}

Perimetro di base (dalla superficie laterale)

2p=\frac{S_{lat}}{h}

Formule del prisma regolare

Per la superficie di base valgono le formule del particolare tipo di poligono regolare di base

 

Proprietà del prisma

 

Teniamo sempre a mente che, in qualsiasi classificazione, un sottoinsieme eredita le proprietà caratteristiche dell'insieme che lo contiene. Un prisma regolare eredita quindi le proprietà di un prisma retto che a sua volta eredita le proprietà del prisma.

 

- In un prisma qualsiasi le basi sono poligoni congruenti che giacciono su piani paralleli.

 

- In un prisma retto le facce laterali sono rettangoli.

 

- In un prisma retto l'altezza è congruente a ciascuno degli spigoli laterali.

 

- In un prisma retto tutti gli spigoli laterali sono paralleli all'altezza e perpendicolari alle basi.

 

- In un prisma retto la proiezione ortogonale di una base sull'altra coincide con la base stessa.

 

- In un prisma regolare le basi sono poligoni regolari.

 

- In un prisma regolare i rettangoli della superficie laterale sono congruenti tra loro.

 

 

Problemi ed esercizi svolti sul prisma retto

 

Lo sapete che abbiamo svolto molti esercizi sul prisma retto, e che qui su YM c'è anche un comodo tool per risolvere il prisma regolare online? Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. :)

 

 

Tchau, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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