Solidi di rotazione

I solidi di rotazione sono solidi che vengono generati a partire dalla rotazione di una figura piana attorno ad un asse. I principali solidi di rotazione sono il cilindro, il cono, il tronco di cono e la sfera.

 

Vediamo la definizione di solido di rotazione nel caso più generale possibile, per poi inoltrarci nello studio delle caratteristiche e delle proprietà fondamentali che li caratterizzano. Oltre a questo ci soffermeremo sulle formule dei solidi di rotazione e considereremo i casi principali, che avremo modo di approfondire nei successivi formulari.

 

Nota bene: i solidi di rotazione sono oggetto di studio a partire dalle scuole elementari, e a tal proposito potete consultare la guida didattica sui solidi per la scuola primaria. Questo argomento viene poi ripreso in modo più dettagliato in terza media e alle scuole superiori, fino alla seconda prova di Matematica in cui tendenzialmente vengono sempre richiesti.

 

Cos'è un solido di rotazione

 

I solidi di rotazione costituiscono una particolare classe di solidi e si riconoscono con un semplice colpo d'occhio; infatti sono provvisti di almeno una superficie curva.

 

Essi vengono chiamati di rotazione perché si possono ottenere ruotando:

 

- una figura piana attorno ad un suo lato o a una retta;

 

- una linea, retta o curva, attorno ad un'altra retta.

 

La rotazione è di un angolo \alpha con ampiezza minore o al più uguale a 360°. Quali che sia il lato o la retta attorno a cui viene effettuata la rotazione, esso prende il nome di asse di rotazione del solido.

 

Definizioni varie sui solidi di rotazione

 

Prima di buttarci a capofitto nello studio dei solidi di rotazione è opportuno introdurre un po' di nomi che ci torneranno utili nel seguito.

 

Angolo di rotazione: ampiezza dell'angolo che definisce la rotazione.

 

Asse di rotazione: retta o linea attorno cui ruota la figura piana per formare il solido. Tale asse può coincidere con il lato del poligono che ruota.

 

Generatrice: il lato (o i lati) del poligono che, ruotando, formano la superficie del solido.

 

 

 Solido di rotazione

 

 

Solido di rotazione completo: è un solido generato da una rotazione di 360°.

 

Solido di rotazione parziale: è un solido generato da una rotazione con ampiezza minore di 360°.

 

Solido di rotazione concavo: solido di rotazione con una o più rientranze. Tali rientranze si formano quando almeno uno dei vertici di una generatrice sporge rispetto ai vertici del lato che definisce la rotazione, oppure quando l'angolo di rotazione è minore di un angolo giro.

 

Per ottenere un solido di rotazione concavo proviamo ad esempio a far ruotare un trapezio isoscele attorno alla sua base minore:

 

 

Solido di rotazione concavo

 

 

In questo modo otteniamo una sorta di cilindro cavo. Per chi è alle scuole superiori facciamo notare che i solidi di rotazione concavi sono semplicemente figure concave nel senso classico della definizione; nello specifico sono solidi in cui esiste almeno una coppia di punti il cui segmento congiungente non è interamente contenuto nel solido.

 

Principali solidi di rotazione

 

Quali sono i solidi di rotazione più ricorrenti? I più importanti solidi di rotazione - quelli che per intenderci si studiano a scuola - sono il cono, il cilindro, il tronco di cono e la sfera.

 

 

Cono

Cilindro

Rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad un cateto

Rotazione di un rettangolo attorno ad un lato

Cono Cilindro

Tronco di cono

Sfera

Rotazione di un trapezio rettangolo attorno all'altezza

Rotazione di un semicerchio attorno al diametro

Tronco di cono Sfera

 

Formule per i principali solidi di rotazione

 

Nei rispettivi formulari avremo modo di elencare tutte le formule e le formule inverse per ciascuno dei più importanti solidi di rotazione, tra cui ad esempio le formule per il volume, per l'area della superficie totale e per l'apotema.

 

Per il momento ci limitiamo a fornirvi uno spaccato delle principali formule per ciascuno dei solidi di rotazione che abbiamo menzionato. h indica l'altezza, a l'apotema, r il raggio di base, r_1 ed r_2 i raggi delle circonferenze di base del tronco di cono.

 

 


Volume

Superficie totale

Superficie laterale

Cono

 V=\frac{\pi r^2 h}{3}

S_{tot}=\pi r(a+r) 

S_{lat}=\pi r a

Cilindro

V=\pi r^2 h S_{tot}=2 \pi r (h+r) S_{lat}=2 \pi r h

Tronco di cono

 V=\frac{\pi h}{3}(r_1^2+

+r_1r_2+r_2^2)

S_{tot}=\pi(r_1+r_2)a +

+\pi(r_1^2+r_2^2)

S_{lat}=\pi(r_1+r_2)a

Sfera

V=\frac{4}{3}\pi r^3 S_{tot}=4\pi r^2

 

 


 

 

Concludiamo questa lezione rimandando gli studenti delle superiori e gli universitari ad un'ultima serie di formule utili: stiamo parlando delle formule per il volume dei solidi di rotazione con gli integrali.

 

Per il momento è tutto! Nei successivi formulari tratteremo dettagliatamente ciascuno dei solidi di rotazione che abbiamo appena introdotto. Nel caso stiate ripassando e vogliate cimentarvi subito con gli esercizi, vi rimandiamo alla scheda correlata di problemi svolti.

 

Per qualsiasi altra necessità vi ricordiamo che la barra di ricerca interna è la vostra migliore amica, dal momento che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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