Solidi di rotazione

Vediamo la definizione di solido di rotazione in generale, le caratteristiche, le formule e le proprietà fondamentali per poi esaminare i principali solidi di rotazione.

 

Cos'è un solido di rotazione

 

I solidi di rotazione costituiscono una particolare classe di solidi e si riconoscono con un semplice colpo d'occhio; infatti sono provvisti di almeno una superficie curva.

 

Sono chiamati di rotazione perché si possono ottenere da una rotazione di un angolo \alpha=360^{\circ} di:

 

- una figura piana attorno ad un suo lato o a una retta;

- una linea (retta o curva) attorno ad un'altra retta.

 
 

Definizioni varie sui solidi di rotazione

 

Angolo di rotazione: ampiezza dell'angolo che definisce la rotazione.

 

Asse di rotazione: retta attorno cui ruota la figura piana o, in generale una linea, per formare il solido; tale asse può coincidere con il lato del poligono che ruota.

 

Generatrice: il lato (o i lati) del poligono che, ruotando, formano la superficie del solido.

 

 Solido di rotazione

 

Solido di rotazione concavo: solido avente una rientranza che si presenta quando uno dei vertici dei lati del poligono che ruota si trova più in alto (o più in basso) rispetto ai vertici del lato che definisce la rotazione oppure quando l'angolo di rotazione è minore di un angolo giro.

 

Per ottenere un solido di rotazione concavo proviamo, ad esempio, a far ruotare un trapezio isoscele attorno alla sua base minore:

 

Solido di rotazione concavo

 

Verrà fuori un cilindro "bucato" da due coni Wink

 

Principali solidi di rotazione

 

I più importanti solidi di rotazione, quelli che, per intenderci, si studiano a scuola sono:

 

 

Cono Cilindro Tronco di cono Sfera

Rotazione di un 

triagolo rettangolo

attorno ad un cateto

Rotazione di un 

rettangolo attorno

ad un lato

Rotazione di un 

trapezio rettangolo 

attorno all'altezza

Rotazione di un

semicerchio attorno

al diametro

Cono Cilindro Tronco di cono Sfera

 

Formule per i principali solidi di rotazione

 

(h indica l'altezza, a l'apotema, r il raggio di base, r1 ed r2 i raggi delle circonferenze di base del tronco di cono)

 


Volume Superficie totale Superficie laterale

Cono

 V=\frac{\pi r^2 h}{3}

S_{tot}=\pi r(a+r) 

S_{lat}=\pi r a 

Cilindro V=\pi r^2 h S_{tot}=2 \pi r (h+r) S_{lat}=2 \pi r h

Tronco di cono

 V=\frac{\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)}{3}

S_{tot}=\pi(r_1+r_2)a +\pi(r_1^2+r_2^2) 

S_{lat}=\pi(r_1+r_2)a 

Sfera V=\frac{4}{3}\pi r^3 S_{tot}=4\pi r^2

 

 

Concludiamo questa lezione con un'ultima serie di formule utili per gli universitari o per chi frequenta il quinto liceo (occhio! Molto spesso escono fuori alla maturità): formule per il volume dei solidi di rotazione attorno all'asse x o y - click!

 


 

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Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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