Icosaedro

L'icosaedro è un qualsiasi poliedro con 20 facce. L'icosaedro regolare è un particolare icosaedro, ed è un solido platonico con 20 facce, 12 vertici e 30 spigoli, con tutte le facce congruenti tra loro e con angoli diedrali pari a circa 138,19°.

 

In questo formulario presentiamo la definizione, le proprietà e le formule dell'icosaedro, considerando nello specifico il caso dell'icosaedro regolare. Ne proporremo le principali formule per il volume e per l'area della superficie totale, comprese le formule inverse e quelle relative alla sfera inscritta e circoscritta.

 

Per quanto riguarda le formule dell'icosaedro irregolare non ci sarebbe molto da dire in generale, se non tenere a mente la definizione e la forma. Questo è il motivo per cui qui ci occupiamo solo del caso dell'icosaedro regolare.

 

Definizione di icosaedro

 

Partiamo dalla definizione di icosaedro e dalla definizione di icosaedro regolare che abbiamo proposto inizialmente:

 

- come suggerito dal nome stesso (dal greco icosa - venti - ed edro - base), un icosaedro è un qualsiasi poliedro concavo o convesso con 20 facce.

 

In termini generali in un icosaedro ogni faccia può essere costituita da un poligono qualsiasi e ciascuna di esse può differire dalle altre, purché la costruzione geometrica soddisfi la definizione. Per citare un esempio, possiamo avere una piramide con base un ennadecagono (19 lati) e facce della superficie laterale date da triangoli, oppure un prisma retto con base un ottadecagono (18 lati).

 

- Un icosaedro regolare è un poliedro platonico con 20 facce uguali tra loro, ciascuna delle quali è un triangolo equilatero

 

 

Icosaedro

Icosaedro regolare

 

Sviluppo dell'icosaedro regolare

 

Lo sviluppo piano dell'icosaedro regolare si ottiene tagliando la superficie lungo alcuni spigoli (senza deformarla né disconnetterla), in modo da portare le facce tutte sullo stesso piano. In questo contesto è buona cosa non confondere lo sviluppo piano con la proiezione ortogonale dell'icosaedro sul piano di base

 

 

Sviluppo piano dell'icosaedro

Sviluppo piano dell'icosaedro regolare

 

Formule dell'icosaedro

 

Passiamo alle formule dell'icosaedro e concentriamoci sul caso specifico dell'icosaedro regolare, dal momento che nel caso generale non esistono particolari formule degne di nota. Chiamiamo L lo spigolo, Stot l'area della superficie totale, V il volume dell'icosaedro, R il raggio della sfera circoscritta ed r il raggio della sfera inscritta.

 

Nella seguente tabella riportiamo in grassetto le formule principali; tutte le altre formule inverse possono essere ricavate a partire da esse mediante passaggi algebrici piuttosto semplici.

 

 

Volume dell'icosaedro

V=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12} \cdot L^3

Spigolo (dal volume)

L=\sqrt[3]{\frac{3(3-\sqrt{5})}{5}\cdot V}

Superficie totale dell'icosaedro

S_{tot}=5\sqrt{3} \cdot L^2

Spigolo (dalla superficie totale)

L=\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{15}\cdot S_{tot}}

Formule per l'icosaedro inscritto in una sfera

Raggio (dallo spigolo)

R=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \cdot L

Spigolo (dal raggio)

L=\frac{4}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\cdot R

Formule per l'icosaedro circoscritto ad una sfera

Raggio (dallo spigolo)

r=\frac{\sqrt{3}(3+\sqrt{5})}{12} \cdot L

Spigolo (dal raggio)

L=\frac{12}{\sqrt{3}(3+\sqrt{5})} \cdot r

Relazione tra i raggi

R=\frac{15}{\sqrt{15(5+2\sqrt{15})}} \cdot r

 

Proprietà dell'icosaedro regolare

 

- L'icosaedro regolare è un poliedro convesso.

 

- Facce, spigoli, vertici: un icosaedro regolare ha 20 facce, 12 vertici e 30 spigoli.

 

- Ogni suo angolo diedrale misura circa 138,19°.

 

- L'icosaedro regolare è un solido platonico, dunque ha come facce poligoni regolari uguali tra loro e tali da essere triangoli equilateri. Gli altri poliedri platonici sono il tetraedro, il cubo, l'ottaedro e il dodecaedro.

 

- Come tutti i solidi platonici, un icosaedro regolare si può sia inscrivere che circoscrivere ad una sfera.

 

- Noto il raggio di una delle due sfere (inscritta o circoscritta) grazie alle formule precedenti si può risalire alla misura dello spigolo dell'icosaedro regolare e quindi al valore di volume e della superficie totale.

 

- I centri della sfera inscritta e circoscritta coincidono e sono il centro di simmetria dell'icosaedro regolare.

 

 

Esercizi e problemi svolti sull'icosaedro

 

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Giuseppe Carichino (Galois)

 

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