Icosaedro

In questo formulario presentiamo formule e proprietà relative all'icosaedro regolare, ovvero ad uno dei cinque poliedri regolari (detti anche solidi platonici).

 

Per quanto riguarda le formule dell'icosaedro irregolare non ci sarebbe molto da dire in generale, se non tenere a mente la definizione e la forma. Questo è il motivo per cui qui ci occupiamo solo del caso dell'icosaedro regolare. Wink

 

Icosaedro

 

 

 

 

 

 

Un po' di nomi

 

Volume: V - Superficie totale: Stot - Lato o spigolo: L - Raggio della sfera circoscritta: R - Raggio della sfera inscritta: r

  



Tutte le formule sull'icosaedro


Volume: V=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12} \cdot L^3

Lato (dal volume): L=\sqrt[3]{\frac{3(3-\sqrt{5})}{5}\cdot V} 

Superficie totale: S_{tot}=5\sqrt{3} \cdot L^2

Spigolo (dalla superficie totale): L=\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{15}\cdot S_{tot}}

 

Icosaedro inscritto

 

Raggio (dallo spigolo): R=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \cdot L

Lato (da raggio): L=\frac{4}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\cdot R

 

Icosaedro circoscritto

 

Raggio (dallo spigolo): r=\frac{\sqrt{3}(3+\sqrt{5})}{12} \cdot L

Spigolo (dal raggio): L=\frac{12}{\sqrt{3}(3+\sqrt{5})} \cdot r

 

Legame tra i raggi delle due sfere

 

R=\frac{15}{\sqrt{15(5+2\sqrt{15})}} \cdot r

r=\frac{\sqrt{15(5+2\sqrt{15})}}{15} \cdot R

 
 

Definizione di icosaedro regolare

 

Si definisce icosaedro regolare un poliedro con 20 triangoli equilateri come facce.

 

Sviluppo piano dell'icosaedro regolare

 

Si ottiene tagliando la superficie lungo alcuni spigoli (senza deformarla né disconnetterla) in modo da portare le facce tutte sullo stesso piano.

 

 

Sviluppo piano dell'icosaedro

 

Proprietà dell'icosaedro regolare

 

- L'icosaedro è un solido convesso con 20 facce, 12 vertici e 30 spigoli.

- Ogni suo angolo diedrale misura circa 138,19°.

- Come tutti i solidi platonici un icosaedro regolare si può sia inscrivere che circoscrivere ad una sfera.

- Noto il raggio di una delle due sfere (inscritta o circoscritta) grazie alle formule precedenti si può risalire alla misura dello spigolo dell'icosaedro e quindi al valore di volume e della superficie totale.

- I centri della sfera inscritta e circoscritta coincidono e sono il centro di simmetria per l'icosaedro.

 

 


 

 

Se dovessi avere dubbi, se ci fosse qualcosa che non è chiaro, se c'è un esercizio che non riesci a svolgere...apri una discussione nel Forum! Laughing

 

Buon Proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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