Dodecaedro

Il dodecaedro è un qualsiasi poliedro con 12 facce. Il dodecaedro regolare è un particolare tipo di dodecaedro, ed è un solido platonico con 12 facce, 20 vertici e 30 spigoli, con tutte le facce uguali tra loro e con angoli diedri pari a circa 116,55°.

 

Questo formulario propone la definizione e le formule del dodecaedro, con particolare attenzione al caso del dodecaedro regolare. Qui di seguito proponiamo tutte le principali formule, comprese le formule inverse, per il volume e per l'area della superficie totale, nonché le principali proprietà di questa figura solida.

 

Qui non troverete formule relative al dodecaedro irregolare semplicemente perché, in generale, non ci sono formule rilevanti.

 

Definizione di dodecaedro

 

Richiamiamo la definizione di dodecaedro e la definizione di dodecaedro regolare che abbiamo visto ad inizio lezione.

 

- Come lascia intendere il nome stesso (dal greco dodeca - dodici - ed edro - base), un dodecaedro è un qualsiasi poliedro convesso o concavo con 12 facce.

 

Ogni faccia del dodecaedro può essere data da un poligono qualsiasi e può essere diversa dalle altre, a patto che la costruzione geometrica sia conforme alla definizione. Come esempi possiamo considerare una piramide con base un endecagono (11 lati) e facce della superficie laterale costituite da triangoli, o ancora un prisma con base un decagono.

 

- Un dodecaedro regolare è un solido platonico con 12 facce uguali tra loro, ed in cui ciascuna faccia è un pentagono regolare.

 

 

Dodecaedro

Dodecaedro regolare

 

Sviluppo del dodecaedro regolare

 

Lo sviluppo piano del dodecaedro regolare si ottiene tagliando la superficie lungo alcuni spigoli, senza deformarla né disconnetterla, in modo da portare le facce tutte sullo stesso piano. Attenzione a non confondere lo sviluppo piano con la proiezione ortogonale del dodecaedro sul piano di base.

 

 

Sviluppo piano del dodecaedro

Sviluppo piano del dodecaedro regolare

 

Formule del dodecaedro 

 

Ora passiamo all'elenco delle formule del dodecaedro regolare (ci limitiamo a questo caso perché in generale non esistono formule del dodecaedro). Precisiamo il significato dei simboli che useremo: indicheremo con L lo spigolo, con Stot l'area della superficie totale, con V il volume del dodecaedro, ed infine con R il raggio della sfera circoscritta e con r il raggio della sfera inscritta.

 

Nella seguente tabella abbiamo riportato in grassetto le principali formule da ricordare: tutte le altre formule inverse possono essere facilmente dedotte mediante semplici calcoli algebrici.

 

 

Volume del dodecaedro

V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4} \cdot L^3

Spigolo (dal volume)

L=\sqrt[3]{\frac{4}{15+7\sqrt{5}}\cdot V} 

Superficie totale del dodecaedro

S_{tot}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}} \cdot L^2

Spigolo (dalla superficie totale)

L=\sqrt{\frac{3 \cdot S_{tot}}{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}}

Formule per il dodecaedro regolare inscritto in una sfera

Raggio (con lo spigolo)

R=\frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}{4} \cdot L

Spigolo (con il raggio)

L=\frac{4}{\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}\cdot R

Formule per il dodecaedro regolare circoscritto ad una sfera

Raggio (con lo spigolo)

r=\frac{L}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}}

Spigolo (con il raggio)

L=\frac{2r\sqrt{10}}{\sqrt{25+11\sqrt{5}}}

Relazione tra i raggi

R=\frac{15}{\sqrt{15(5+2\sqrt{5})}} \cdot r

 

Proprietà del dodecaedro regolare

 

- Il dodecaedro regolare è un poliedro convesso.

 

- Facce, vertici e spigoli: il dodecaedro regolare è ha 12 facce, 20 vertici e 30 spigoli.

 

- In ciascuno dei vertici convergono 3 spigoli.

 

- Il dodecaedro regolare è un solido platonico, per cui ha come facce poligoni regolari tutti uguali tra loro che nella fattispecie sono triangoli equilateri. Gli altri poliedri platonici sono il tetraedro, il cubo, l'ottaedro e l'icosaedro.

 

- Ogni angolo diedrale misura circa 116,55°.

 

- Come ogni altro solido platonico un dodecaedro regolare si può sia inscrivere che circoscrivere ad una sfera.

 

- Noto il raggio di una delle due sfere (inscritta o circoscritta), grazie alle formule precedenti si può risalire alla misura dello spigolo dell'dodecaedro regolare e quindi al valore di volume e della superficie totale.

 

- I centri della sfera inscritta e circoscritta coincidono e sono il centro di simmetria per il dodecaedro regolare.

 

 

Esercizi e problemi svolti sul dodecaedro

 

Qui su YM abbiamo risolto migliaia di esercizi e di problemi sul dodecaedro, quindi se siete in cerca di problemi risolti vi raccomandiamo di cercare quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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