Dodecaedro

Questo formulario tratta il caso del dodecaedro regolare e ne presenta le formule, la definizione e le principali proprietà. Ricordiamo a tutti che il dodecaedro regolare rientra nella famiglia dei cinque solidi platonici, detti altrimenti poliedri regolari.

 

Qui non troverai formule relative al dodecaedro qualsiasi semplicemente perché, in generale, non ci sono formule rilevanti. Wink

 

Dodecaedro

 

 

 

 

 

 

Un po' di nomi

 

Volume: V - Superficie totale: Stot - Lato o spigolo: L - Raggio della sfera circoscritta: R - Raggio della sfera inscritta: r

  


 

Tutte le formule sul dodecaedro regolare


Volume: V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4} \cdot L^3

Lato (dal volume): L=\sqrt[3]{\frac{4}{15+7\sqrt{5}}\cdot V} 

Superficie totale: S_{tot}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}} \cdot L^2

Spigolo (dalla superficie totale): L=\sqrt{\frac{3 \cdot S_{tot}}{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}}

 

Dodecaedro regolare inscritto

 

Raggio (dallo spigolo): R=\frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}{4} \cdot L

Lato (da raggio): L=\frac{4}{\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}\cdot R

 

Dodecaedro regolare circoscritto

 

Raggio (dallo spigolo): r=\frac{L}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}}

 

Spigolo (dal raggio): L=\frac{2r\sqrt{10}}{\sqrt{25+11\sqrt{5}}}

 

Legame tra i raggi delle due sfere

 

R=\frac{15}{\sqrt{15(5+2\sqrt{5})}} \cdot r

 

r=\frac{\sqrt{15(5+2\sqrt{5})}}{15} \cdot R

 
 

Definizione di dodecaedro regolare

 

Si definisce dodecaedro regolare un poliedro con 12 pentagoni regolari come facce.

 

Sviluppo piano del dodecaedro regolare

 

si ottiene tagliando la superficie lungo alcuni spigoli (senza deformarla né sconnetterla) in modo da portare le facce tutte sullo stesso piano.

 

 

Sviluppo piano del dodecaedro

 

Proprietà del dodecaedro regolare

 

- Il dodecaedro è un solido convesso con 12 facce, 20 vertici e 30 spigoli.

- Ogni suo angolo diedrale misura circa 116,55°.

- Come tutti i solidi platonici un dodecaedro regolare si può sia inscrivere che circoscrivere ad una sfera.

- Noto il raggio di una delle due sfere (inscritta o circoscritta) grazie alle formule precedenti si può risalire alla misura dello spigolo dell'dodecaedro e quindi al valore di volume e della superficie totale.

- I centri della sfera inscritta e circoscritta coincidono e sono il centro di simmetria per il dodecaedro.

 

 


 

 

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Buon Proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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