Ottaedro

L'ottaedro è un qualsiasi poliedro con 8 facce. L'ottaedro regolare è un particolare tipo di ottaedro, ed è un solido platonico dotato di 8 facce, 12 spigoli e 6 vertici, con tutte le facce uguali tra loro e angoli diedrali pari a circa 109,47°.

 

Oltre alla definizione in questo formulario riportiamo le formule dell'ottaedro, concentrandoci in particolare sul caso dell'ottaedro regolare. Questo tipo di solido è oggetto di studio esclusivamente alle scuole superiori e compare di rado negli esercizi e nei problemi di Geometria. Ciononostante in caso di necessità può essere utile ricordarne le principali proprietà e formule, come quella per il volume e per la superficie laterale, in modo da essere in grado di ricavare le formule inverse e di usarle all'occorrenza.

 

Perché ci limitiamo al caso degli ottaedri regolari e non ci occupiamo di quelli irregolari? Perché non potremmo scrivere alcuna formula degna di nota e anche perché solitamente gli studenti hanno a che fare con l'ottaedro regolare.

 

Definizione di ottaedro

 

Ripartiamo dalla definizione di ottaedro e dalla definizione di ottaedro regolare che abbiamo già anticipato nell'introduzione:

 

- come suggerisce il significato del nome stesso (dal greco octa - otto - ed edro - base), un ottaedro è un qualsiasi poliedro convesso o concavo con 8 facce.

 

Ognuna delle facce può consistere in un poligono diverso dagli altri, purché la costruzione geometrica sia conforme alla definizione. Possiamo ad esempio considerare una piramide con un ettagono di base e sette triangoli che costituiscono la superficie laterale, oppure un prisma con un esagono di base.

 

- Un ottaedro regolare è un solido platonico con 8 facce uguali tra loro ed in cui ciascuna delle 8 facce è un triangolo equilatero.

 

 

Ottaedro

Ottaedro regolare

 

Sviluppo dell'ottaedro regolare

 

Lo sviluppo dell'ottaedro regolare si ottiene tagliando la superficie lungo alcuni spigoli, senza deformarla né disconnetterla, in modo da portare le facce tutte sullo stesso piano. In questo frangente è importante non confondere lo sviluppo piano con la proiezione ortogonale dell'ottaedro sul piano di base.

 

 

Sviluppo piano dell'ottaedro regolare

 Sviluppo piano dell'ottaedro

 

Formule dell'ottaedro

 

Pronti per l'elenco delle formule dell'ottaedro? Come vi abbiamo già anticipato ci soffermeremo esclusivamente sulle formule dell'ottaedro regolare, perché non esistono formule che valgano nel caso generale. Prima di cominciare è bene precisare qual è il significato dei simboli che adotteremo. Indicheremo con L lo spigolo, con Stot l'area della superficie totale, con V il volume dell'ottaedro ed infine con R il raggio della sfera circoscritta e con r il raggio della sfera inscritta nell'ottaedro.

 

Nella tabella evidenziamo le formule più importanti in grassetto; tali formule sono le uniche che vanno ricordate, perché tutte le altre formule inverse possono essere facilmente dedotte da esse mediante semplici passaggi algebrici.

 

 

Volume ottaedro

V=\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot L^3

Spigolo (dal volume)

L=\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot V} 

Superficie totale ottaedro

S_{tot}=2\sqrt{3} \cdot L^2

Spigolo (dalla superficie totale)

L=\sqrt{\frac{S_{tot}}{2\sqrt{3}}}

Formule per l'ottaedro regolare inscritto in una sfera

Raggio (dallo spigolo)

R=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot L

Spigolo (dal raggio)

L=\sqrt{2}\cdot R

Formule per l'ottaedro regolare circoscritto ad una sfera

Raggio (dallo spigolo)

r=\frac{\sqrt{6}}{6} \cdot L

Spigolo (dal raggio)

L=\sqrt{6} \cdot r

Relazione tra i raggi

R=\sqrt{3} \cdot r

Nota: è bene tenere a mente le formule del triangolo equilatero.

 

Proprietà dell'ottaedro regolare

 

- L'ottaedro regolare è un poliedro convesso.

 

- Facce, spigoli e vertici: un ottaedro regolare ha 8 facce, 6 vertici e 12 spigoli.

 

- In ciascuno dei vertici insistono 4 spigoli.

 

- L'ottaedro regolare è un solido platonico, dunque presenta come facce dei poligoni regolari tutti uguali tra loro e particolare sono date da triangoli equilateri. Gli altri poliedri platonici sono il tetraedro, il cubo, il dodecaedro e l'icosaedro.

 

- Ogni angolo diedro misura circa 109,47°.

 

- Come accade per ogni solido platonico, un ottaedro regolare si può sia inscrivere che circoscrivere ad una sfera.

 

- Noto il raggio di una delle due sfere (inscritta o circoscritta) grazie alle formule precedenti si può risalire alla misura dello spigolo dell'ottaedro e quindi al valore di volume e della superficie totale.

 

- I centri della sfera inscritta e circoscritta coincidono e sono il centro di simmetria per l'ottaedro.

 

 

Esercizi e problemi svolti sull'ottaedro

 

Nel caso foste in cerca di problemi risolti sull'ottaedro vi consigliamo di usare la barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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