Tetraedro

Il tetraedro è un poliedro formato da 4 facce, 4 vertici e 6 spigoli. Il tetraedro regolare è un particolare tipo di tetraedro, ed è un solido platonico avente come facce 4 triangoli equilateri uguali tra loro, spigoli tutti congruenti e angoli diedrali pari a 70°32'.

 

In questo formulario riportiamo la definizione e le formule del tetraedro, con particolare riferimento al caso del tetraedro regolare. Questo particolare tipo di solido viene studiato principalmente alle scuole superiori: oltre alle definizioni, vi proponiamo le formule con cui è possibile determinare la misura del volume, della superficie totale, dello spigolo e dell'altezza, comprese le relative formule inverse e le formule per la sfera inscritta e circoscritta al tetraedro regolare. Fatto ciò passeremo ad elencare tutte le principali proprietà del tetraedro regolare e vi rimandanderemo agli esercizi e ai problemi svolti. 

 

Nota bene: non tratteremo il tetraedro irregolare perché per quest'ultimo non potremmo scrivere formule generali (nessun problema comunque, perché alle scuole superiori si lavora con i tetraedri regolari). Nel corso della spiegazione troverete inoltre diversi link di approfondimento, con particolare riferimento al volume e agli altri poliedri regolari: in caso di dubbi, basta un click. ;)

 

Definizione di tetraedro

 

Riprendiamo rapidamente la definizione di tetraedro e la definizione di tetraedro regolare introdotte ad inizio lezione:

 

- in accordo con il significato del nome (dal greco tetra - quattro - e edro - base), un tetraedro è un poliedro con 4 facce in cui ciascuna faccia può essere costituita da un triangolo qualsiasi, e quindi presenta 4 vertici e 6 spigoli.

 

- Un tetraedro regolare è un poliedro platonico con 4 facce uguali tra loro ed in cui ciascuna faccia è un triangolo equilatero.

 

 

Tetraedro

Tetraedro regolare

 

Sviluppo del tetraedro regolare

 

Lo sviluppo piano del tetraedro regolare si ottiene tagliando la superficie lungo alcuni spigoli, senza deformarla né disconnetterla, in modo da riportare tutte le facce sullo stesso piano. Attenzione! Lo sviluppo piano non va confuso con la proiezione ortogonale del tetraedro sul piano di base.

 

 

Sviluppo piano del tetraedro

Sviluppo piano del tetraedro regolare

 

Formule del tetraedro

 

Prima di procedere ad elencare le formule del tetraedro regolare è bene specificare il significato dei simboli che useremo. Indichiamo con L la misura dello spigolo, con h l'altezza (intesa come altezza da un vertice qualsiasi alla faccia opposta, con V il volume del tetraedro, con Stot l'area della superficie totale, con Slat l'area della superficie laterale, con R il raggio della sfera circoscritta e con r il raggio della sfera inscritta.

 

Nella seguente tabella indichiamo le formule principali in grassetto. Tenete conto che sono le uniche che vanno ricordate perché le altre formule inverse possono essere ricavate con semplici passaggi algebrici.

 

 

Volume del tetraedro

V=\frac{\sqrt{2}}{12} \cdot L^3

Spigolo (dal volume)

L=\sqrt[3]{6\sqrt{2} \cdot V} 

Superficie totale del tetraedro

S_{tot}=\sqrt{3} \cdot L^2

Spigolo (dalla superficie totale)

L=\sqrt{\frac{S_{tot}}{\sqrt{3}}}

Superficie laterale del tetraedro

S_{lat}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot L^2

Spigolo (dalla superficie laterale)

L=\frac{2}{3}\sqrt{\sqrt{3} \cdot S_{lat}}

Altezza del tetraedro (dallo spigolo)

h=\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot L

Spigolo (dall'altezza)

L=\frac{\sqrt{6}}{2} \cdot h

Formule per il tetraedro regolare inscritto in una sfera

Raggio (dallo spigolo)

R=\frac{\sqrt{6}}{4} \cdot L

Spigolo (dal raggio)

L=\frac{2 \sqrt{6}}{3}\cdot R

Formule per il tetraedro regolare circoscritto ad una sfera

Raggio (dallo spigolo)

r=\frac{\sqrt{6}}{12} \cdot L

Spigolo (dal raggio)

L=2\sqrt{6} \cdot r

Relazione tra i raggi

R=3 \cdot r

Nota: è bene tenere a mente le formule del triangolo equilatero.

 

 

Proprietà del tetraedro regolare

 

- Il tetraedro regolare è un poliedro convesso.

 

Facce, vertici e spigoli: un tetraedro regolare ha 6 spigoli, 4 vertici e 4 facce.

 

- In ciascuno dei vertici insistono 3 spigoli.

 

- Il tetraedro regolare è un solido platonico, dunque ha come facce poligoni regolari tutti uguali tra loro ed in particolare sono triangoli equilateri. Gli altri solidi platonici sono il cubo, l'ottaedro, il dodecaedro e l'icosaedro.

 

- Ogni angolo diedrale di un tetraedro regolare misura 70°32'.

 

- Come tutti i solidi platonici, un tetraedro regolare si può sia inscrivere che circoscrivere ad una sfera.

 

- Noto il raggio di una delle due sfere (inscritta o circoscritta) grazie alle formule precedenti si può risalire alla misura dello spigolo del tetraedro regolare e quindi alle misure di volume, superficie totale, superficie laterale ed altezza.

 

- I centri della sfera inscritta e circoscritta coincidono e sono il centro di simmetria per il tetraedro regolare.

 

 

Esercizi e problemi svolti sul tetraedro

 

Qui su YM abbiamo risolto migliaia di esercizi e, nel caso foste in cerca di problemi svolti sul tetraedro, vi consigliamo di usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon Proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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