Formule per il volume

Il volume di un solido è per definizione la misura dello spazio occupato dal solido. Tavolta, con abuso di linguaggio, il termine volume viene usato per indicare l'insieme dei punti che formano un solido, il quale in realtà andrebbe semplicemente denominato come solido.

 

In questa veloce lezione cercheremo di comprendere che cos'è il volume, dandone la definizione e spiegandola in termini semplici, ed elencheremo quali sono le formule per calcolare il volume dei solidi più e meno ricorrenti in Geometria.

 

Per concludere ci occuperemo di alcuni aspetti di carattere pratico e ci soffermeremo sulle questioni relative alle unità di misura per il volume.

 

Cos'è il volume di un solido

 

Come nel caso dell'area di una figura piana, il concetto di volume di un solido non è di immediata comprensione e diventa difficile anche spiegarlo. Immaginiamo un pallone da calcio e una biglia: quale delle due è più grande?

 

Ovviamente il pallone da calcio è più ingombrante, occupa cioè una porzione maggiore di "spazio" rispetto ad una piccola biglia. L'occupare spazio diventa quindi una proprietà di questi due oggetti e dal semplice esempio capiamo che esistono oggetti che occupano più spazio di altri.

 

Ci serve qualcosa che ci permette di esprimere questa nuova caratteristica, ed è qui che subentra il concetto di volume. Possiamo dare così la seguente definizione di volume: il volume di un solido è una misura dello spazio occupato da un solido.

 

Formule per calcolare il volume dei principali solidi

 

In questa sezione riportiamo tutte le formule per calcolare il volume di tutti i solidi più ricorrenti negli esercizi e nei problemi di Geometria, nonché quelli più ricorrenti nelle applicazioni e nella nostra vita quotidiana. Tra questi abbiamo in particolare i principali poliedri e i più comuni solidi di rotazione.

 

 

Nome della figura solida

Formula del volume

Prisma retto

\mbox{Volume}=\mbox{Area}_{base}\times \mbox{altezza}

Parallelepipedo rettangolo

\mbox{Volume}=\mbox{Area}_{base}\times\mbox{altezza}

 

Dette a,b i lati del rettangolo di base e h l'altezza del parallelepipedo, la formula per determinare il volume è

 

\mbox{Volume}= a\times b \times h

 

Cubo

\mbox{Volume}= \mbox{lato}\times \mbox{lato}\times\mbox{lato}= \mbox{lato}^3

Piramide retta

 \mbox{Volume}= \frac{\mbox{Area}_{base}\times \mbox{altezza}}{3}

Tronco di piramide

Chiamiamo A_{b} l'area di base minore, A_{B} l'area di base maggiore, h l'altezza. Allora:

 

\mbox{Volume}= \frac{(A_{b}+ A_{B}+ \sqrt{A_{b}\times A_{B}})\times\mbox{altezza}}{3}

 

Tetraedro (regolare)

\mbox{Volume}= \frac{\sqrt{2}}{12}\times \mbox{lato}^3 

Cilindro

\mbox{Volume}= \pi\times\mbox{ raggio}^2\times\mbox{altezza}

 Cilindro equilatero

\mbox{Volume}= 2\pi \times \mbox{raggio}^3

Cono

\mbox{Volume}= \frac{\pi\times \mbox{raggio}^2\times\mbox{altezza}}{3}

 Cono equilatero

\mbox{Volume}=\sqrt{3} \frac{\pi \times \mbox{raggio}^3}{3}

Tronco di cono

Chiamiamo r il raggio della circonferenza di base maggiore, r' il raggio della base minore e h l'altezza del tronco di cono:


\mbox{V}= \frac{\pi\times (r^2+ r'^2+ r \times r')\times\mbox{altezza}}{3}

 

Sfera

\mbox{Volume}= \frac{4}{3}\times \pi \times \mbox{raggio}^3

 

Formule per il volume di solidi meno ricorrenti

 

In questa sezione proponiamo una tabella con le formule per il volume di solidi che di solito non si studiano alle scuole medie, e che vengono studiate qui e là nei vari anni delle scuole superiori.

 

 

Nome della figura solida

Formula del volume

Ottaedro regolare

 \mbox{Volume}= \frac{\sqrt{2}}{3}\times \mbox{lato}^3

Dodecaedro regolare

 \mbox{Volume}= \frac{15+7\sqrt{5}}{4}\times \mbox{lato}^3

Icosaedro regolare

\mbox{Volume}= \frac{3+\sqrt{5}}{12}\times 5\times \mbox{lato}^3

Calotta sferica

\mbox{Volume}= \pi \times \mbox{altezza}^2\times \left(\mbox{raggio}-\frac{\mbox{altezza}}{3}\right)

 

 


 

 

Per quanto riguarda la misura del volume, spesso e volentieri in Matematica ci si riferisce a numeri puri e dunque privi di qualsiasi tipo di unità di misura. Ciononostante può capitare di dover risolvere problemi ed esercizi di Geometria (e di Fisica, ad esempio) in cui le misure delle dimensioni dei solidi vengono espresse mediante una misura di lunghezza, il che impone di dover esprimere la misura del volume in modo coerente con i dati assegnati.

 

Senza dilungarci oltre, rimandiamo chiunque fosse interessato ad approfondire lo studio e l'utilizzo delle misure di volume nell'omonima categoria di lezioni.

 

La lezione termina qui. Nella scheda correlata di esercizi e problemi svolti potete fare un po' di allenamento con una selezione di problemi risolti. Manca qualcosa? Qui su YM ci sono migliaia e migliaia di esercizi spiegati nel dettaglio e non solo, potete recuperare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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