Altezza, mediana, bisettrice, asse di un triangolo

I segmenti notevoli del triangolo sono particolari tipi di segmenti che mettono in relazione i vertici e i lati di un triangolo qualsiasi. A seconda del tipo di relazione considerata, possiamo parlare di altezza, bisettrice, mediana e asse.

 

Nel corso della lezione noterete che ad ogni segmento notevole è associato un particolare punto: all'altezza di un triangolo è associato l'ortocentro, alla bisettrice è associato l'incentro, alla mediana il baricentro e all'asse il circoncentro. Tali punti sono detti punti notevoli del triangolo e li trattiamo nel dettaglio nella lezione successiva (ortocentro, incentro, baricentro e circocentro).

 

Altezza relativa a un lato

 

Si definisce altezza relativa ad un lato (o a un vertice) di un triangolo il segmento che congiunge un vertice con il lato opposto all'angolo, e tale da essere perpendicolare al lato stesso.

 

 

Altezza relativa al lato di un triangolo

Altezza relativa al lato AC
uscente dal vertice B

 

Proprietà dell'altezza

 

1) Ogni triangolo ha tre altezze, ciascuna condotta da uno dei tre vertici.

 

2) Nei triangoli acutangoli tutte le altezze sono interne.

 

3) Nei triangoli ottusangoli le altezze relative ai due angoli acuti sono esterne, mentre quella relativa all'angolo ottuso è interna.

 

4) L'altezza relativa a un lato è il segmento di minima distanza tra il vertice e il lato opposto ad essa.

 

5) Tutte le altezze di un triangolo si incontrano in un unico punto detto ortocentro.

 

6) Nei triangoli rettangoli le altezze relative agli angoli acuti giacciono sul perimetro e coincidono con i cateti.

 

7) In un triangolo isoscele l'altezza divide il triangolo in due triangoli rettangoli congruenti.

 

8) In un triangolo equilatero le tre altezze sono congruenti.

 

9) Formula per la misura di un'altezza: (hvertice indica la misura dell'altezza relativa al vertice)

 

\\ h_A=\frac{\sqrt{(BC^2+AC^2+AB^2)^2-2(BC^4+AC^4+AB^4)}}{2BC}=\frac{2S}{BC}\\ \\ \\ h_B=\frac{\sqrt{(BC^2+AC^2+AB^2)^2-2(BC^4+AC^4+AB^4)}}{2AC}=\frac{2S}{AC}\\ \\ \\ h_C=\frac{\sqrt{(BC^2+AC^2+AB^2)^2-2(BC^4+AC^4+AB^4)}}{2AB}=\frac{2S}{AB}

 

Mediana relativa a un lato

 

La mediana relativa a un lato di un triangolo (da non confondere con la mediana statistica) è per definizione il segmento condotto dal vertice opposto e che divide il lato in due parti uguali.

 

 

Mediana di un lato

Mediana relativa al lato AC
uscente dal vertice B

 

 

Proprietà della mediana

 

1) Ogni triangolo ha tre mediane, una per ciascun lato.

 

2) Ogni mediana è sempre interna al triangolo, qualunque esso sia.

 

3) Le tre mediane si incontrano in un unico punto detto baricentro.

 

4) Ogni mediana divide il triangolo in due triangoli equivalenti, cioè aventi la stessa area.

 

5) Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti, di cui quella contenente il vertice è il doppio dell'altra.

 

6) Vale il teorema della mediana:

 

AB^2+AC^2=2(BM^2+AM^2)

 

7) Formula per la lunghezza della mediana (mvertice indica la misura della mediana relativa al lato opposto al vertice)

 

\\ m_A=\frac{1}{2}\sqrt{2(AC^2+AB^2)-BC^2}\\ \\ \\ m_B=\frac{1}{2}\sqrt{2(BC^2+AB^2)-AC^2}\\ \\ \\ m_C=\frac{1}{2}\sqrt{2(AC^2+BC^2)-AB^2}

 

Bisettrice di un angolo

 

Chiamiamo bisettrice di un angolo interno di un triangolo il segmento che congiunge il vertice dell'angolo al lato opposto ad esso, e che divide l'angolo in due parti uguali. Si possono anche definire, con una logica simile, le bisettrici degli angoli esterni.

 

 

Bisettrice di un angolo

Bisettrice dell'angolo interno in A 
e bisettrice dell'angolo esterno in C 

 

 

Proprietà della bisettrice

 

1) Ogni triangolo ha tre bisettrici, una per ciascun vertice.

 

2) In un triangolo qualsiasi le bisettrici sono tutte e tre interne.

 

3) Le bisettrici relative agli angoli interni si intersecano in un unico punto detto incentro. Tale punto è equidistante dai lati.

 

4) Dato un vertice qualsiasi, la bisettrice interna e quella esterna sono perpendicolari tra loro.

 

5) Ogni punto di una bisettrice è equidistante dai lati che toccano il vertice da cui è condotta. Nel caso delle bisettrici esterne si fa riferimento al lato e al prolungamento dell'altro.

 

6) Teorema della bisettrice: in un triangolo qualsiasi i lati adiacenti al vertice della bisettrice stanno in proporzione come le parti individuate dalla bisettrice sul lato opposto al vertice

 

AB:AC=BM:MC

 

7) Conseguenza del teorema della bisettrice: data una qualsiasi bisettrice, l'incentro la divide in due parti. La parte contenente il vertice sta all'altra come uno dei due lati adiacenti al vertice sta alla parte del lato opposto al vertice e individuata dalla bisettrice

 

AI:IM=AB:BM=AC:MC

 

8) Formule per la misura della bisettrice (bvertice indica la misura della bisettrice relativa al vertice)

 

\\ b_{A}=\frac{2}{AB+AC}\sqrt{AB\times AC\times p \times (p-BC)}\\ \\ \\ b_{B}=\frac{2}{AB+BC}\sqrt{AB\times BC\times p \times (p-AC)}\\ \\ \\ b_{C}=\frac{2}{AC+BC}\sqrt{AC\times BC\times p \times (p-AB)}

 

Asse di un lato

 

Si definisce asse di un lato il segmento che (1) è perpendicolare al lato e (2) divide il lato in due parti uguali.

 

 

Asse di un lato

Asse del lato BC

 

 

Oltre alla definizione, l'unica proprietà rilevante degli assi di un triangolo è la seguente: gli assi di un triangolo si incontrano in un unico punto detto circocentro.

 

 


 

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Arvedze, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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