Criteri di similitudine dei triangoli

I criteri di similitudine sono tre teoremi di Geometria (detti primo, secondo e terzo criterio di similitudine) che esprimono determinate condizioni affinché due triangoli siano simili tra loro.

 

Lo scopo di questa lezione consiste nell'introdurre la nozione di similitudine tra triangoli (cioè la definizione di triangoli simili) e di presentare i principali teoremi e le condizioni che garantiscono che due triangoli siano simili. Questi risultati prendono il nome di criteri di similitudine dei triangoli.

 

Per concludere mostreremo alcune proprietà che caratterizzano i triangoli simili e che ci permetteranno di risolvere sia gli esercizi di calcolo, sia i problemi in cui partendo dalle ipotesi dobbiamo dimostrare la validità di una certa tesi.

 

Definizione di triangoli simili

 

Diciamo che due triangoli sono simili se valgono entrambe le seguenti condizioni:

 

1) i tre angoli ordinatamente congruenti;

 

2) i tre lati proporzionali tra loro.

 

Sulla prima condizione non c'è molto da dire. Per la seconda invece basta ricordare la definizione di grandezze proporzionali. Nel nostro caso la proporzionalità tra i lati significa che il rapporto tra i lati corrispondenti dei due triangoli è costante.

 

 

Criteri di similitudine dei triangoli

 

 

Facendo riferimento alla figura possiamo riscrivere le condizioni 1) e 2) come:

 

1) angoli congruenti: \alpha=\alpha',\ \beta=\beta',\ \gamma=\gamma';

 

2) lati proporzionali: \frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}.

 

I tre criteri di similitudine dei triangoli

 

Siamo pronti per riportare gli enunciati dei tre criteri di similitudine dei triangoli.

 

 

Primo criterio di similitudine: due triangoli sono simili se hanno i tre angoli rispettivamente congruenti.

 

Se vogliamo riscrivere il primo criterio evidenziando le ipotesi e la tesi, ci basta leggere l'enunciato e la nozione di triangoli simili data in precedenza:

 

\mbox{Ipotesi} \begin{cases}\alpha=\alpha'\\ \beta=\beta'\\ \gamma=\gamma'\end{cases}\ \Rightarrow\ \mbox{Tesi}\ \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}

 

Da notare che il solo confronto tra le ampiezze degli angoli ci permette di dedurre la condizione di proporzionalità tra le misure dei lati. Se poi la costante di proporzionalità (il valore costante dei rapporti) è uguale a 1, allora i due triangoli sono anche congruenti e non solo simili.

 

 

Secondo criterio di similitudine dei triangoli: due triangoli sono simili se hanno una coppia di lati proporzionali e l'angolo tra essi compreso congruente.

 

In questo caso ci basta confrontare due lati e l'angolo tra essi compreso. L'enunciato scritto a parole potrebbe essere equivocabile, ma la sua corretta scrittura in simboli non lascia spazio ai dubbi. ;)

 

\mbox{Ipotesi} \begin{cases}\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}\\ \beta=\beta'\end{cases}\ \Rightarrow\ \mbox{Tesi}\ \begin{cases}\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}\\ \alpha=\alpha'\\ \gamma=\gamma'\end{cases}

 

 

Terzo criterio di similitudine dei triangoli: due triangoli sono simili se hanno tutti e tre i lati ordinatamente proporzionali.

 

Quest'ultimo criterio è più interessante degli altri, perché ci permette di trarre delle conclusioni sulle ampiezze degli angoli a partire dal confronto delle misure dei lati.

 

\mbox{Ipotesi} \begin{cases}\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}\end{cases}\ \Rightarrow\ \mbox{Tesi}\ \begin{cases}\alpha=\alpha'\\ \beta=\beta'\\ \gamma=\gamma'\end{cases}

 

Esempi sui criteri di similitudine

 

A) Consideriamo due triangoli ABC e A'B'C' con i seguenti dati

 

\begin{cases}\alpha=\alpha'=30^{o}\\ \beta=\beta'=90^{o}\\ \gamma=\gamma'=60^{o}\end{cases}

 

Per il primo criterio di similitudine sappiamo che i due triangoli sono simili, perché hanno gli angoli ordinatamente congruenti. Quindi hanno i lati proporzionali tra loro.

 

\Rightarrow\ \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}

 

Di conseguenza, se conosciamo le misure di un lato di ABC e del corrispondente lato di A'B'C', ad esempio AB=10 cm e A'B'=5 cm, conosciamo automaticamente in quale rapporto si trovano i restanti lati dei due triangoli

 

\frac{AB}{A'B'}=\frac{10}{5}=2\ \Rightarrow\ \frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=2

 

cioè

 

BC=2B'C'\ \ \ \mbox{ e }\ \ \ AC=2A'C'

 

In parole povere sappiamo che i lati del triangolo ABC hanno misura doppia rispetto ai corrispondenti lati di A'B'C'.

 

 

B) Prendiamo due triangoli ABC e A'B'C', con

 

\begin{cases}AC=7,\ BC=4,\ \gamma=30^{o}\\ A'C'=77,\ B'C'=44,\ \gamma'=30^{o}\end{cases}

 

Il secondo criterio di similitudine ci permette di dire che i due triangoli sono simili, perché hanno due lati ordinatamente proporzionali e l'angolo tra essi compreso congruente. Infatti

 

\\ \frac{AC}{A'C'}=\frac{1}{11}=\frac{BC}{B'C'}\\ \\ \gamma=\gamma'

 

Sappiamo di conseguenza che sono congruenti anche gli angoli

 

\Rightarrow \alpha=\alpha',\ \beta=\beta'

 

e conosciamo automaticamente il rapporto tra le misure dei lati AB, A'B':

 

\Rightarrow\ \frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{11}\ \Rightarrow\ AB=\frac{1}{11}A'B'

 

 

C) Consideriamo due triangoli ABC, A'B'C' con

 

\begin{cases}AB=42,\ BC=78,\ AC=40\\ AB=168,\ BC=312,\ AC=160\end{cases}

 

Tali triangoli sono simili per il terzo criterio di similitudine, poiché hanno i tre lati ordinatamente proporzionali tra loro. Per vederlo ci basta calcolare i tre rapporti

 

\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{4},\ \ \ \frac{BC}{B'C'}=\frac{1}{4},\ \ \ \frac{AC}{A'C'}=\frac{1}{4}

 

da qui segue immediatamente che gli angoli dei due triangoli saranno ordinatamente congruenti:

 

\Rightarrow\ \alpha=\alpha',\ \beta=\beta',\ \gamma=\gamma'

 

Proprietà dei triangoli simili

 

La similitudine tra due o più triangoli implica delle proprietà immediate, che derivano direttamente dalla definizione e di cui non forniremo la dimostrazione in questo contesto. Tali proprietà sono di semplicissima dimostrazione, e ve le lasciamo per esercizio. Si può provare abbastanza facilmente che, dati due triangoli simili ABC e A'B'C':

 

 

P1) Il rapporto tra le altezze è uguale al rapporto tra i lati, ossia

 

\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AH}{A'H'}=\frac{BK}{B'K'}=\frac{CJ}{C'J'}

 

 

Triangoli simili e rapporto delle altezze

 

 

P2) Il rapporto tra i perimetri è uguale al rapporto tra i lati, cioè

 

\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{2p}{2p'}

 

 

P3) Il rapporto tra le aree è uguale al quadrato del rapporto tra i lati, ossia

 

\left(\frac{AB}{A'B'}\right)^2=\left(\frac{BC}{B'C'}\right)^2=\left(\frac{AC}{A'C'}\right)^2=\frac{S}{S'}

 

 


 

È tutto, nella prossima lezione ci occuperemo dei criteri di congruenza. Non perdetevi la scheda correlata di esercizi svolti, e se non bastassero sappiate che qui su YM ci sono migliaia di problemi ed esercizi risolti. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Agente Ω

 

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