Angoli complementari, supplementari, esplementari

In questa lezione daremo le definizioni di angoli complementari, di angoli supplementari e di angoli esplementari, e vedremo come gli angoli possano essere classificati in tre tipi di coppie, a seconda che la loro somma sia uguale ad un angolo notevole. 

 

Prima di tutto è bene rinfrescare la memoria e partire dagli angoli notevoli che prenderemo in considerazione: oltre all'angolo di ampiezza nulla (0°), si considerano come angoli fondamentali:

 

- l'angolo retto, cioè con ampiezza di 90°;

 

- l'angolo piatto, che ha un'ampiezza di 180°;

 

- l'angolo giro, che ha un'ampiezza di 360°.

 

Niente di difficile, vero? Tenete a mente i valori e i nomi degli angoli che abbiamo appena scritto: così facendo non avrete alcuna difficoltà ad imparare le definizioni di angoli complementari, supplementari ed esplementari.

 

Angoli complementari

 

In breve: due angoli acuti α, β sono angoli complementari se la loro somma è pari a un angolo retto.

 

 

Angoli complementari

 

 

Dunque due angoli sono complementari se la somma delle loro ampiezze è uguale a 90°.

 

\alpha+\beta=90^{o}

 

In modo analogo, dati due angoli acuti α e β, si può dire che β è l'angolo complementare di α se la somma delle loro ampiezze è 90°.

 

Notiamo che la definizione richiede che i due angoli siano acuti, ossia minori di 90°, perché altrimenti la loro somma non potrebbe in alcun modo valere 90°. Sono, ad esempio, coppie di angoli complementari

 

\\ (30^{o},60^{o})\to 30^{o}+60^{o}=90^{o}\\ \\ (1^{o},89^{o})\to 1^{o}+89^{o}=90^{o}\\ \\ (45^{o},45^{o})\to 45^{o}+45^{o}=90^{o}

 

e non sono coppie di angoli complementari tutte le coppie di angoli la cui somma ha ampiezza diversa da 90°.

 

Domanda: perché dare un nome specifico alle coppie di angoli che soddisfano tale proprietà? Perché c'è un particolare caso, nella Geometria delle figure piane, in cui si ha sempre a che fare con coppie di angoli di 90°: quello degli angoli acuti di un triangolo rettangolo.

 

In un triangolo rettangolo infatti la somma delle ampiezze dei due angoli acuti (escluso cioè l'angolo retto) è proprio uguale a 90°. Vogliamo vedere perché? Chiamiamo γ l'angolo retto e α, β i due angoli acuti. Sappiamo che in un triangolo qualsiasi la somma degli angoli interni è sempre pari a 180°, quindi

 

\alpha+\beta+\gamma=180^{o}

 

dato che γ=90°

 

\alpha+\beta+90^{o}=180^{o}

 

quindi necessariamente

 

\alpha+\beta=90^{o}

 

Angoli supplementari

 

Due angoli convessi α, β sono angoli supplementari se la somma delle loro ampiezze è uguale ad un angolo piatto.

 

 

Angoli supplementari

 

 

Due angoli si dicono quindi supplementari se la somma delle loro ampiezze è uguale a 180°.

 

\alpha+\beta=180^{o}

 

Come definizione alternativa possiamo dire che, dati due angoli convessi α e β, β è l'angolo supplementare di α se la loro somma vale 180°.

 

In questo caso la definizione richiede che gli angoli siano convessi, cioè entrambi minori di 180°, perché altrimenti la loro somma non potrebbe valere 180°. Ad esempio possiamo considerare come coppie di angoli supplementari

 

\\ (175^{o},5^{o})\to 175^{o}+5^{o}=180^{o}\\ \\ (120^{o},60^{o})\to 120^{o}+60^{o}=180^{o}\\ \\ (43^{o},137^{o})\to 43^{o}+137^{o}=180^{o}

 

Anche in questo caso c'è un motivo per cui si attribuisce un nome specifico a questo tipo di coppie di angoli: si usa tale nome per caratterizzare le coppie di angoli adiacenti, la cui somma come sappiamo è sempre uguale a 180°.

 

Ad esempio gli angoli interno ed esterno costruiti sul prolungamento di un lato di un qualsiasi poligono regolare sono adiacenti e dunque supplementari.

 

Angoli esplementari

 

Due angoli α, β formano una coppia di angoli esplementari se la somma delle ampiezze è uguale all'angolo giro, ossia se la somma delle loro ampiezze è pari a 360°.

 

 

Angoli esplementari

 

 

In una formula, due angoli si dicono esplementari se

 

\alpha+\beta=360^{o}

 

Come avrete certamente già intuito, dati due angoli α e β di può dire in modo equivalente che β è l'angolo esplementare di α se la somma dei due angoli vale 360°.

 

Come esempi di coppie di angoli esplementari possiamo prendere

 

\\ (230^{o},130^{o})\to 230^{o}+130^{o}=360^{o}\\ \\ (15^{o},345^{o})\to 15^{o}+345^{o}=360^{o}\\ \\ (100^{o},260^{o}) \to 100^{o}+260^{o}=360^{o}

 

Nel caso degli angoli esplementari si è deciso di assegnare un nome specifico a tali coppie di angoli perché l'angolo giro è l'angolo massimo che si può costruire facendo ruotare un segmento intorno a un punto, quindi l'esplementare di un angolo si considera come angolo di completamento all'angolo giro per un dato angolo (il primo della coppia).

 

 

La posizione dei due angoli è importante per poterli definire complementari, supplementari od esplementari?

 

Una domanda che viene posta spesso dagli studenti è la seguente: per poter parlare di coppie di angoli complementari, supplementari ed esplementari è necessario avere a che fare con angoli consecutivi?

 

La risposta è: no, non è necessario, perché le condizioni che abbiamo riportato riguardano esclusivamente le ampiezze e non la posizione degli angoli. Il dubbio di solito nasce dalle rappresentazioni che i libri riportano quando parlano di angoli complementari, supplementari ed esplementari. In parole povere e a titolo di esempio due angoli possono essere complementari anche se non hanno il vertice ed un lato in comune, ossia possono essere completamente scollegati l'uno dall'altro. L'importante è che la somma delle loro ampiezze sia uguale a 90°.

 

Come ulteriore esempio, se consideriamo due angoli adiacenti essi saranno sicuramente supplementari, ma non è l'unico caso in cui si può avere una coppia di angoli supplementari, perché la posizione non conta. Conta solo che la somma delle ampiezze sia pari a 180°. ;)

 

 


 

Una nota finale dedicata esclusivamente agli studenti del triennio delle scuole superiori, che ci stanno leggendo per ripassare: sappiate che in Trigonometria gli angoli complementari, supplementari ed esplementari rivestono un'importanza particolare rispetto alle funzioni seno e coseno. Per approfondire vi rimandiamo alla lezione sugli archi associati.

 

Come al solito chiudiamo la lezione con un suggerimento: usando la barra di ricerca interna potete trovare tutte le risposte per i vostri eventuali dubbi, oltre ad una sfilza di esercizi e problemi svolti. ;)

 

 

Bye bye, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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