Criteri di congruenza dei triangoli

criteri di congruenza dei triangoli sono quattro teoremi della Geometria piana i quali, sulla base di opportune condizioni, permettono di individuare la congruenza dei triangoli. Vengono detti primo, secondo, terzo criterio di congruenza e secondo criterio generalizzato.

 

Tali risultati ci permettono di stabilire se due triangoli qualsiasi sono congruenti per semplice confronto di alcuni elementi, e sono in tutto tre più uno. Li chiameremo primo, secondo e terzo criterio di congruenza dei triangoli, cui si aggiunge un ulteriore teorema che costituisce una generalizzazione del secondo.

 

Nota bene: cos'è la congruenza tra triangoli? Due triangoli si dicono congruenti se è possibile sovrapporli con un movimento rigido, in modo che coincidano punto a punto.

 

Primo criterio di congruenza dei triangoli

 

Il primo criterio di congruenza stabilisce che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso.

 

Primo criterio di congruenza dei triangoli

Se a=a', b=b' e Υ=Υ' allora i due triangoli sono congruenti tra loro.

 

In parole povere, grazie al primo criterio possiamo concludere che se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l'angolo tra essi compresi, allora hanno tutti i lati e tutti gli angoli ordinatamente congruenti.

 

Secondo criterio di congruenza dei triangoli

 

Nel caso del secondo criterio di congruenza si arriva alla congruenza considerando due angoli e il lato tra essi compreso: più formalmente, diciamo che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato tra essi compreso.

 

Secondo criterio generalizzato

Se a=a', γ=γ' e β=β' allora i due triangoli sono congruenti tra loro.

 

Secondo criterio generalizzato

 

In realtà, come abbiamo già accennato, si può fornire una generalizzazione del secondo criterio: per far sì che due triangoli siano congruenti è sufficiente che siano rispettivamente congruenti due angoli e uno dei tre lati, non importa che sia quello compreso tra i due angoli o un altro.

 

Secondo criterio di congruenza dei triangoli

Se b=b', γ=γ' e β=β' allora i due triangoli sono congruenti tra loro

 

In termini rigorosi: due triangoli sono congruenti se hanno congruenti rispettivamente due angoli e un lato qualsiasi

 

Terzo criterio di congruenza dei triangoli

 

Il terzo criterio di congruenza è probabilmente il più immediato, perché richiede la congruenza delle misure dei tre lati. Nient'altro. ;)

 

Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti.

 

Terzo criterio di congruenza dei triangoli

Se a=a', b=b' e c=c' allora i due triangoli sono congruenti tra loro

 

 

Prima di salutarci vale la pena di rispondere ad una semplice domanda: a che cosa servono i criteri di congruenza nella teoria e nella pratica?

 

A livello teorico sono importanti perché stabiliscono delle condizioni ben precise per la congruenza di coppie di elementi di una specifica famiglia di figure piane (i triangoli).

 

Nella pratica, ossia nella risoluzione degli esercizi, sono essenziali per portare a termine le dimostrazioni geometriche che vengono assegnate. Servono cioè per risolvere gli esercizi di Geometria piana in cui vengono assegnate alcune ipotesi e ci viene chiesto di dimostrare che esse conducono ad una determinata tesi. Tutto questo vale non solo nel caso dei triangoli, ma anche nel caso delle altre figure piane!

 

Esempio sui criteri di congruenza

 

A titolo di esempio, consideriamo due rettangoli ABCD e A'B'C'D', e immaginiamo che essi abbiano congruenti un lato e una diagonale, ad esempio che BC=B'C' e che AC=A'C'. Vogliamo usare i criteri di congruenza dei triangoli per dimostrare la seguente tesi: i due rettangoli sono congruenti.

 

Dimostrazione: per avere la tesi ci basta dimostrare che sono congruenti i triangoli delle coppie (ABC, A'B'C') e (ACD, A'C'D').

 

Prendiamo la prima coppia di triangoli: ABC e A'B'C'. Tali triangoli hanno congruenti:

 

- i lati BC, B'C' per ipotesi;

 

- le ipotenuse AC, A'C' per ipotesi;

 

- grazie al teorema di Pitagora osserviamo che

 

\\ AB= \sqrt{AC^2-BC^2}\\ \\ A'B'=\sqrt{A'C'^2-B'C'^2}

 

e dato che i due triangoli hanno ordinatamente congruenti i tre lati, essi sono congruenti per il terzo criterio.

 

Per i triangoli ADC, A'D'C' ci basta ragionare in modo analogo: ci basta notare che in un rettangolo i lati opposti sono congruenti, quindi AD=A'D' e DC=D'C'.

 

 

Osservazione finale: criteri di congruenza per triangoli rettangoli e triangoli isosceli

 

Chiudiamo questa lezione con un'osservazione. Come potrete facilmente immaginare, i criteri di congruenza si semplificano parecchio nel caso del triangolo rettangolo e del triangolo isoscele.

 

Nel caso del triangolo rettangolo la congruenza di un angolo (l'angolo retto) è automatica, e come nell'esempio precedente, avendo due lati congruenti possiamo appoggiarci al teorema di Pitagora per ricavare la misura del terzo lato.

 

Nel secondo caso, oltre ad usare le specifiche proprietà relative agli angoli alla base e ai lati obliqui, possiamo considerare un triangolo isoscele come unione di due triangoli rettangoli facendo riferimento all'altezza relativa alla base.

 

Un'ulteriore importante proprietà dei triangoli qualsiasi che torna utile per applicare i criteri di congruenza riguarda la somma degli angoli interni, che vale sempre 180°. Con questa informazione, disponendo delle ampiezze di due angoli, possiamo facilmente ricavare quella del terzo come differenza.

 

 


 

Ecco fatto! Vi suggeriamo di dare un'occhiata alla scheda correlata di problemi ed esercizi svolti. Ricordate inoltre che qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e commentati nel dettaglio, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati..........Lezione successiva


Tags: primo, secondo, terzo criterio di congruenza dei triangoli.

 

pbgp