Teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora è un risultato fondamentale della Geometria che riguarda il triangolo rettangolo e che esprime una importantissima relazione tra i lati, in particolare permette di ricavare la misura di uno dei tre lati (ipotenusa o un cateto) conoscendo le misure degli altri due lati.

 

Nella seguente lezione, dedicata agli studenti della scuola media (e delle scuole superiori) spieghiamo nel dettaglio l'enunciato del teorema e vediamo come tradurlo nelle famose formule del teorema di Pitagora, riportando anche le formule inverse. Ovviamente ne proporremo una dimostrazione digeribile e vedremo come applicarlo in alcuni esempi; per concludere vi rimanderemo ad una pagina di esercizi e problemi svolti.

 

Cosa dice il teorema di Pitagora

 

L'enunciato del teorema di Pitagora sembra essere poco utile in termini pratici e nei calcoli, almeno nella sua formulazione iniziale, ma come vedremo tra poco permette di ricavare tre comodissime formule per il calcolo delle misure dei lati. Vediamolo...

 

Teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

 

Questo è l'enunciato del teorema di Pitagora e, per capire cosa ci dice:

 

- disegniamo un triangolo rettangolo ABC retto in A;

 

- indichiamo con i l'ipotenusa (il lato opposto all'angolo retto) e con c_1 \mbox{ e } c_2 i due cateti;

 

- costruiamo su ciascun lato del triangolo un quadrato avente per base quel lato.

 

 

Teorema di Pitagora

 

 

L'interpretazione geometrica del teorema di Pitagora è semplice: l'area del quadrato Q costruito sull'ipotenusa i, è uguale alla somma delle aree dei quadrati Q1 e Q2 costruiti sui due cateti c1 e c2. In riferimento alla figura, la somma dell'area della porzione verde e di quella blu è uguale all'area della porzione arancione. In formule:

 

\mbox{Area}_Q \ = \ \mbox{Area}_{Q_1} \ + \ \mbox{Area}_{Q_2}

 

Ricordando che l'area del quadrato si ottiene elevando al quadrato la misura del lato, abbiamo:

 

\\ A_Q \ = \ \mbox{area del quadrato } Q \ = \ i^2 \\ \\ A_{Q_1} \ = \ \mbox{area del quadrato }Q_1 \ = \ c_1^2 \\ \\ A_{Q_2} \ = \ \mbox{area del quadrato } Q_2 \ = \ c_2^2

 

Possiamo allora enunciare il teorema di Pitagora ricorrendo alla seguente formula

 

i^2=c_1^2+c_2^2

 

Tale relazione tra i lati ci permette di ricavare velocemente le formule inverse del teorema di Pitagora, cioè le formule che esprimono le aree di ciascun quadrato costruito su uno dei due cateti in termini dell'area del quadrato costruito sull'ipotenusa e di quello costruito sull'altro cateto

 

c_1^2=i^2-c_2^2

 

c_2^2=i^2-c_1^2

 

Formule del teorema di Pitagora

 

Abbiamo detto che è possibile ricavare le formule del teorema di Pitagora, per il calcolo delle misure dei lati, direttamente dall'enunciato del teorema: ci basta considerare le precedenti uguaglianze ed estrarre la radice quadrata. Otteniamo così

 

i=\sqrt{c_1^2+c_2^2}

 

c_1=\sqrt{i^2-c_2^2}

 

c_2=\sqrt{i^2-c_1^2}

 

Si vede subito che, nella risoluzione dei problemi, se avessimo a che fare con un triangolo rettangolo di cui conosciamo la misura di due lati, potremo calcolare rapidamente la misura del terzo lato.

 

Dimostrazione del teorema di Pitagora

 

Senza esagerare, esistono centinaia di dimostrazioni del teorema di Pitagora; qui di seguito riportiamo quella più utilizzata dai ragazzi del Liceo che, a nostro avviso, è abbastanza semplice e al tempo stesso molto rigorosa. I ragazzi della scuola media possono saltare tranquillamente questa parte della lezione e procedere con l'esempio. ;)

 

Disegniamo un triangolo rettangolo ABC avente l'angolo retto in A e costruiamo su ciascun lato il relativo quadrato. Tracciamo poi l'altezza AK relativa all'ipotenusa (quella uscente dal vertice A) e prolunghiamola fino a quando non incontra il lato del quadrato nel punto L, proprio come mostrato in figura.

 

 

Dimostrazione teorema di Pitagora

 

 

Il quadrato BCED relativo all'ipotenusa verrà così diviso nei due rettangoli R_1 \mbox{ e } R_2. Per come sono stati ottenuti:

 

- il rettangolo R_1 ha per base BK, che è la proiezione del cateto c1 sull'ipotenusa e come altezza BE la cui misura coincide con l'ipotenusa BC;

 

- il rettangolo R_2 ha come dimensioni KC, proiezione del cateto c2 sull'ipotenusa, e CD, la cui lunghezza uguaglia quella dell'ipotenusa BC.

 

Per il primo teorema di Euclide (il quadrato costruito su un cateto è uguale al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa) valgono le seguenti relazioni:

 

\mbox{Area}_{Q_1} \ = \ \mbox{Area}_{R_1} \ \mbox{ e } \ \mbox{Area}_{Q_2} \ = \ \mbox{Area}_{R_2}

 

Sommando membro a membro le due espressioni precedenti otteniamo

 

\mbox{Area}_{Q_1} + \mbox{Area}_{Q_2} \ = \ \mbox{Area}_{R_1} + \mbox{Area}_{R_2}

 

La somma delle aree dei rettangoli coincide con l'area del quadrato BCDE, ossia con l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa, e questo dimostra il teorema di Pitagora.

 

Esempio di applicazione del teorema di Pitagora

 

Di un triangolo rettangolo ABC, retto in C, conosciamo la lunghezza dell'ipotenusa AB e del cateto AC, rispettivamente AB=5 cm e AC=3 cm. Vogliamo trovare la lunghezza del cateto BC.

 

Svolgimento: non sappiamo quale sia il cateto maggiore e quale quello minore, ma non è un problema: ci basta usare una delle ultime due formule, che leggiamo come

 

\mbox{cateto}=\sqrt{\mbox{ipotenusa}^2-\mbox{altro cateto}^2}

 

e otteniamo così

 

BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4

 

in questo modo non abbiamo solo trovato la misura dell'altro cateto, ma siamo anche riusciti a capire quale dei due cateti è quello maggiore.

 

Inverso del teorema di Pitagora

 

Oltre al teorema di Pitagora di cui abbiamo discusso finora, è molto utilizzato ai fini pratici anche il teorema di Pitagora inverso il cui enunciato è il seguente: se in un triangolo qualsiasi di lati a, b, c vale la relazione a^2+b^2= c^2, allora il triangolo è rettangolo.

 

L'inverso del teorema di Pitagora è quindi utile per capire se un qualsiasi triangolo, di cui si conosce o si può ricavare la misura dei lati, è o meno un triangolo rettangolo.

 

Esempio di applicazione del teorema di Pitagora inverso

 

Dato un triangolo ABC, è noto che AB = 5 dm, BC = 3 dm e AC = 4 dm. Stabilire se il triangolo ABC è rettangolo, e in caso affermativo dire quale dei tre lati è l'ipotenusa.

 

Svolgimento: calcoliamo il quadrato di ciascuno dei lati del triangolo.

 

AB^2 = 5^2 = 25; \ \ BC^2 = 3^2 = 9; \ \ AC^2 = 4^2 = 16

 

Dal momento che

 

25 = 9 +16, \mbox{ ossia } AB^2 = BC^2+AC^2

 

per l'inverso del teorema di Pitagora possiamo concludere che il triangolo dato è un triangolo rettangolo. Inoltre l'ipotenusa è il maggiore dei tre lati e quindi AB.

 

 


 

 

Prima dei saluti di rito, due piccole curiosità:

 

- se un triangolo ha i lati la cui misura è tale da soddisfare il teorema di Pitagora, allora si dice che i lati del triangolo formano una terna pitagorica;

 

- il teorema di Pitagora viene utilizzato spesso e volentieri nei problemi sul triangolo isoscele; basta infatti osservare che in un triangolo isoscele l'altezza relativa alla base lo divide in due triangoli rettangoli.

 

Attenzione, concentrazione: se vuoi vedere tonnellate di esercizi sul teorema di Pitagora (anche molto più complicati di quello dell'esempio), tutti svolti, sappi che abbiamo risolto migliaia di esercizi qui su YM. Puoi trovare tutto quello che ti serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Vale, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati...........Lezione successiva


Tags: teorema di Pitagora - dimostrazione del teorema di Pitagora - formule del teorema di Pitagora - esercizi sul teorema di Pitagora - teorema di Pitagora inverso.

 

pbgp