Teorema di Talete

Il teorema di Talete è un teorema della Geometria estremamente importante che esprime una proprietà dei fasci di rette parallele tagliate da una trasversale, e che può essere usato anche nel caso dei triangoli.

 

Spesso purtroppo il teorema di Talete viene trascurato dagli studenti. Dalla nostra esperienza, ci pare di comprendere che il problema risiede nei termini "complicati" con il quale viene enunciato. Non possiamo purtroppo fare a meno del linguaggio tecnico, ma lo affiancheremo ad un linguaggio meno formale, nella speranza che questa scelta aiuti un po' tutti . ;)

 

Cosa dice il teorema di Talete?

 

L'enunciato del teorema di Talete asserisce che un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali individuano su di esse due famiglie di segmenti direttamente proporzionali.

 

Ad una prima lettura, la reazione di uno studente è più o meno :O ed è dovuta essenzialmente alle parole difficili che intervengono nell'enunciato del teorema. Vediamo di chiarire questa cosa con un disegno.

 

Consideriamo quattro rette parallele che appartengono al fascio, le chiameremo r, p, q, s. Disegniamo le trasversali a, b che tagliano le tre rette parallele nei punti A, A', B, B', C, C', D, D'.

 

 

Teorema di Talete

 

 

Bene, ora arriva la tesi del teorema di Talete: si ha che il rapporto tra la lunghezza dei segmenti AB e BC coincide con il rapporto tra le lunghezze dei segmenti A'B' e B'C', pertanto:

 

\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}

 

L'uguaglianza tra i due rapporti può essere espressa in modo del tutto equivalente mediante una proporzione

 

AB:BC=A'B':B'C'

 

Non finisce qui: consideriamo i segmenti somma AC e A'C'. Il teorema di Talete ci dice anche che:

 

\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}

 

È chiaro quindi l'enunciato del teorema di Talete? Data una famiglia di rette parallele tagliate da due trasversali, sulle trascersali vengono a formarsi due classi di segmenti ordinatamente proporzionali. Per esercizio potete provare a scrivere la proporzione e i rapporti considerando anche i segmenti CD e CD'. ;)

 

Dimostrazione del teorema di Talete

 

Esistono molte dimostrazioni del teorema di Talete; qui di seguito vi proponiamo quella che a nostro avviso è la più semplice, in quanto richiede solo la conoscenza di pochi ma fondamentali risultati della Geometria Euclidea. La dimostrazione del teorema di Talete non è richiesta agli studenti della scuola media; chi non fosse interessato può passare direttamente alla parte successiva della lezione, a partire dal corollario del teorema di Talete.

 

La dimostrazione utilizza il primo criterio di proporzionalità (che richiameremo tra poco) ed è divisa in due parti. Non fatevi spaventare dalla lunghezza: come noterete, è molto semplice ed è relativamente lunga solamente perché abbiamo spiegato ogni passaggio del dettaglio.

 

Disegniamo un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali ed assegniamo un nome a ciascuno dei punti che si ottiene dall'intersezione di ciascuna retta del fascio con ognuna delle trasversali, così come mostrato in figura.

 

 

Dimostrazione del teorema di Talete

 

 

Per ipotesi sappiamo che le rette r, p, q ed s sono tra loro parallele e per dimostrare il teorema di Talete dobbiamo provare che le due famiglie (o classi) di segmenti AB, BC, CD e A'B', B'C', C'D' sono direttamente proporzionali.

 

A tal scopo ricordiamo il primo criterio di proporzionalità, il quale afferma che: condizione necessaria e sufficiente affinché due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che:

 

1) a grandezze equivalenti di una classe corrispondano grandezze equivalenti dell'altra;

 

2) alla somma di due grandezze qualunque di una classe corrisponde la somma delle due grandezze corrispondenti dell'altra classe.

 

Come già osservato, nel teorema di Talete le due classi di grandezze in esame sono:

 

- prima classe: i segmenti AB, BC, CD, ... che la trasversale a individua tagliando le rette parallele r, p, q, s, ...

 

- seconda classe: i segmenti A'B', B'C', C'D', ... che la trasversale b individua intersecando le rette r, p, q, s, ...

 

Osserviamo che, per come sono stati costruiti, c'è una corrispondenza biunivoca tra le due classi di segmenti. Quindi per dimostrare che tali classi sono direttamente proporzionali possiamo utilizzare il primo criterio di proporzionalità appena enunciato. Dobbiamo allora provare che:

 

1) a segmenti uguali della retta a corrispondono segmenti uguali della trasversale b;

 

2) alla somma di due segmenti presi sulla trasversale a corrisponde, sulla retta b, il segmento somma dei due segmenti corrispondenti a quelli fissati sulla retta a.

 

Abbiamo così diviso la dimostrazione del teorema di Talete in due parti.

 

 

Dimostrazione della prima parte

 

In riferimento alla figura che segue, supponiamo che AB=CD e dimostriamo che A'B'=C'D'.

 

Conduciamo per i punti A e C due rette parallele alla trasversale b e siano:

 

P il punto in cui la prima di tali rette interseca la retta p;

 

Q il punto di intersezione tra la seconda di tali rette e la retta s.

 

 

Corrispondenza tra segmenti uguali nel teorema di Talete

 

 

Si vengono così a formare i due triangoli ABP e CDQ che sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli. Infatti hanno:

 

AB=CD per ipotesi;

 

A\hat{B}P=C\hat{D}Q perché angoli corripondenti rispetto alle rette parallele p ed s tagliate dalla trasversale a;

 

B\hat{A}P=D\hat{C}Q perché angoli corrispondenti rispetto alle rette parallele AP e CQ tagliate dalla trasversale a.

 

Dall'uguaglianza dei due triangoli segue l'uguaglianza dei segmenti AP e CQ, ossia AP=CQ.

 

Osserviamo ora che AP=A'B' in quanto lati opposti del parallelogramma AA'B'P, e per lo stesso motivo anche CQ=C'D'.

 

Allora, poiché AP=CQ anche A'B'=C'D' e ciò conclude la prima parte della dimostrazione.

 

 

Dimostrazione della seconda parte

 

Dobbiamo dimostrare che alla somma di due segmenti presi sulla trasversale a corrisponde, sulla retta b, il segmento somma dei due segmenti corrispondenti a quelli fissati sulla retta a.

 

Sia quindi GH=CD+EF. Vogliamo dimostrare che G'H', corrispondente di GH, è la somma di C'D' ed E'F' che sono i due segmenti corrispondenti di CD ed EF.

 

 

Corrispondenza tra somma di segmenti uguali nel teorema di Talete

 

 

Poiché la lunghezza del segmento GH uguaglia la somma delle lunghezze di CD ed EF, esisterà su GH un punto K tale che GK=CD e KH=EF.

 

Sia ora k la retta del fascio passante per il punto K e sia K' il punto in cui tale retta incontra la trasversale b.

 

Avendo stabilito (nella prima parte della dimostrazione) che a segmenti uguali della trasversale a corrispondono segmenti uguali della trasversale b, dall'uguaglianza GK=CD segue G'K'=C'D', mentre dall'uguaglianza KH=EF segue K'H'=E'F'.

 

Possiamo così concludere che

 

G'H'=G'K'+K'H'=C'D'+E'F'

 

In tal modo abbiamo provato che alla somma GH di due segmenti CD ed EF presi sulla trasversale a corrisponde, sulla retta b, il segmento G'H' somma dei due segmenti C'D' ed E'F' corrispondenti a quelli fissati sulla retta a.

 

Questo conclude la dimostrazione della seconda parte e quindi prova il teorema di Talete.

 

 

Corollario (conseguenza del teorema di Talete per i triangoli)

 

In un triangolo qualsiasi, una retta parallela ad un lato qualsiasi, taglia proporzionalmente gli altri due lati.

 

 

Corollario del teorema di Talete per il triangolo

 

 

Seguendo le lettere della figura possiamo costruire la proporzione:

 

AB:BC=AB':B'C'

 

Grazie alle proporzioni del teorema e del corollario possiamo risolvere numerosi problemi di tipo dimostrativo.

 

Applicazione del teorema di Talete in un problema

 

Consideriamo un triangolo rettangolo ABC retto in A. Sia M il punto medio del lato BC e sia AM la mediana relativa esso. Da M tracciamo una retta s parallela al lato AC e chiamiamo P il punto di intersezione tra la retta s e il lato AB. Costruiamo infine la retta t parallela alla mediana AM e passante per P. Detto D il punto di intersezione tra la retta t ed il lato BC. Dimostrare che il segmento BD è congruente a DM.

 

Per prima cosa rappresentiamo geometricamente il problema.

 

 

Problema sui triangoli risolto con il teorema di Talete

 

 

Poiché AM è la mediana relativa al lato BC allora M è il punto medio del lato BC. Per definizione di punto medio si ha che BM è congruo a MC. Grazie al teorema di Talete, possiamo impostare la proporzione:

 

\frac{BM}{MC}=\frac{BP}{PA}

  

Dalla congruenza dei segmenti BM e MC si ha che il rapporto al primo membro è 1, di conseguenza anche il quoziente al secondo membro vale 1:

 

\frac{BP}{PA}= 1\implies BP=PA

 

(Implicitamente abbiamo dimostrato che P è il punto medio del segmento AB).

 

Applichiamo il teorema di Talete al triangolo ABM, con rette parallele AM e t. Impostiamo la proporzione:

 

\frac{BP}{PA}=\frac{ BD}{ DM}

 

Il quoziente al primo membro è 1, anche il secondo membro lo sarà. Concludiamo affermando che:

 

\frac{BD}{DM}= 1\implies BD= DM

 

e abbiamo finito!

 

 


 

Ci auguriamo che ora il teorema risulti un po' più semplice. Se vi servissero altri esempi, oppure se foste in cerca di problemi ed esercizi svolti sul teorema di Talete, potete dare uno sguardo alla scheda correlata ed eventualmente usare la barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio.

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)


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