Misura degli angoli: gradi, primi, secondi

La misura degli angoli è un metodo che consente di assegnare ad ogni angolo un valore numerico che ne individua l'ampiezza, e che permette di effettuare un confronto numerico tra gli angoli. La misura degli angoli può avvenire in due modi: mediante gradi, primi e secondi oppure in radianti.

 

La necessità storica di lavorare in modo appropriato con gli angoli ha fatto sì che venisse creata una unità di misura fondamentale: il grado (da non confondere con il grado centigrado). Gli angoli si misurano in gradi; i babilonesi furono tra i primi che utilizzarono tale unità di misura nei propri studi astronomici, ma non ci soffermiamo troppo sull'aspetto storico e andiamo direttamente al sodo.

 

A titolo di cronaca, per chi fosse interessato ci occuperemo della seconda misura degli angoli, i radianti, nella lezione successiva.

 

Misura degli angoli in gradi, primi e secondi

 

Il grado si definisce come la 360-esima parte di un angolo giro. Il simbolo per indicarlo è un piccolo cerchietto scritto come apice ( ° ).

 

Tutto qui? Sì, effettivamente è questa la definizione di grado. Per regioni pratiche, definiamo anche i suoi sottomultipli: il primo ed il secondo.

 

- Il primo è la sessantesima parte del grado. Indicheremo i primi con un apice ( ' ).

 

- Il secondo è la sessantesima parte del primo, o equivalentemente la 3600-sima parte del grado. Indicheremo i secondi con un doppio apice ( '' ).

 

Misura degli angoli in forma normale

 

La misura di un angolo deve essere espressa in forma normale, ossia nella seguente forma

 

\mbox{gradi}^\circ\,\,\mbox{primi}'\,\,\mbox{secondi}''

 

dove:

 

- \mbox{gradi} è un numero naturale;

 

- \mbox{primi} è un numero naturale compreso tra 0 e 59;

 

- \mbox{secondi} deve essere un numero (anche decimale) strettamente minore di 60.

 

Vediamo un esempio di misura di un angolo espressa in forma normale:

 

102^\circ\,\,43'\,\,59''

 

L'angolo che abbiamo appena scritto è espresso in forma normale perché rispetta le condizioni che abbiamo visto in precedenza.

 

Al contrario, possiamo considerare come esempio di misura degli angoli in forma non normale:

 

102^\circ\,\,71'\,\,91''

 

La precedente misura non è espressa in forma normale perché il numero che indica i primi non è più piccolo di 59, e il numero che indica i secondi non è più piccolo di 60.

 

Come esprimere la misura di un angolo in forma normale?

 

Ora dobbiamo imparare a scrivere le misure degli angoli in forma normale. Partiamo da un esempio tramite il quale spiegheremo i passaggi e le regole da seguire per ridurre in forma normale la misura di un angolo. 

 

90^\circ\,\,99'\,\,88''

 

Possiamo notare che la misura dell'ampiezza dell'angolo non rispetta le condizioni che abbiamo imposto prima. Partiamo dai secondi: 88'' è un numero maggiore di 60.

 

Calcoliamone la divisione intera per 60 (la cara, vecchia divisione in colonna), in questo modo calcoleremo quanti primi ci sono in 88''.

 

 

\begin{array}{c c|c c} & 88'' & 60&\\ \cline{3-3}& 60'' & 1 & \mbox{ quoziente }\\ \cline{2-2}\mbox{ resto} &  28''  & &\end{array}

 

 

Il resto 28'' va sostituito al posto di 88''. Il quoziente 1 è il numero di primi e  va invece sommato ai primi della traccia, ottenendo 99'+1'= 100'

 

90^\circ\,\, 99'+1'\,\, 28''=90^\circ\,\, 100'\,\, 28''

 

 

Regola: se i secondi hanno un valore maggiore o uguale a 60'' allora si effettua la divisione per 60. Il quoziente della divisione va sommato ai primi, mentre il resto è il nuovo valore dei secondi.

 

 

Attenzione, non abbiamo ancora concluso perché la misura non è ancora espressa in forma normale. I primi hanno un valore superiore a 59. Ok, possiamo quindi pensare di ripetere il ragionamento che abbiamo utilizzato per i secondi! Dividiamo i primi per 60 così da determinare quanti gradi stanno in 100'. 

 

 

\begin{array}{c c|c c} &100'  & 60&\\ \cline{3-3}& 60'&1& \mbox{ quoziente }\\ \cline{2-2}\mbox{ resto}& 40'  & &\end{array}

 

 

Il quoziente è il numero che andrà sommato ai gradi, mentre il resto è il valore da sostituire nei primi:

 

 

\begin{align*}90^\circ\,\, 100'\,\, 28''&=90^\circ+1^\circ\,\, 40'\,\,28'' \\&=91^\circ\,\, 40'\,\,28''\end{align}

 

 

Regola: se i primi superano la cifra 59 effettuiamo la divisione intera per 60. Il quoziente è il numero che va sommato ai gradi, mentre il resto è il nuovo valore per i primi.

 

 

Un altro esempio

 

Vogliamo scrivere in forma normale l'angolo 7201''.

 

Naturalmente i secondi hanno un valore molto più grande di 59, dividiamo quindi per 60, otterremo che il quoziente intero è 120', mentre il resto è 1'', di conseguenza:

 

7201''= 120'\,\,1''

 

Ancora un piccolo passo avanti. Dobbiamo scrivere in forma normale i primi. Dividiamo 120' per 60, al quoziente associamo 2°, il resto invece è 0'.

 

 

\begin{align*}7201''&= 120'\,\,1''\\&=  2^{\circ}\,\, 0'\,\, 1'\end{align}

 

 

Ce l'abbiamo fatta: abbiamo espresso la misura dell'angolo in forma normale.

 

Misura degli angoli in forma normale con numeri decimali 

 

E se abbiamo a che fare con numeri decimali per i gradi e per i primi? Ecco il procedimento per superare questo piccolo scoglio.

 

Vogliamo esprimere in forma normale l'ampiezza dell'angolo:

 

120,523^\circ

 

La parte intera, cioè 120°, saranno i gradi della forma normale.

 

Prendiamo in considerazione ora la parte decimale: 0,523°. Moltiplichiamo per 60 in modo da ricavare il corrispondente valore in primi:

 

0,523^{\circ}\times 60=31.38'

 

Possiamo scrivere:

 

120,523^\circ= 120^\circ\,\, 31,38'

 

Ancora non abbiamo finito. Dobbiamo trasformare anche i primi seguendo lo stesso procedimento: la parte intera dei primi, 31', sarà quella da considerare nella forma normale. Prendiamo in esame la parte decimale 0,38' e moltiplichiamola per 60, così da ottenere i secondi:

 

0,38'\times 60=22.8''

 

In definitiva:

 

120,523^\circ= 120^{\circ}\,\, 31'\,\,22.8''

 

Da questo esempio possiamo trarre la seguente regola.

 

 

Regola: se i gradi sono numeri decimali allora si prende come valore in gradi la parte intera. La parte decimale invece verrà moltiplicata per 60; in questo modo otterremo un nuovo numero, la cui parte intera sarà il valore da associare ai primi. L'eventuale parte decimale invece verrà moltiplicata per 60 ed il risultato sarà il valore dei secondi della misura dell'angolo, che sarà così espressa in forma normale.

 

 


 

Abbiamo finito. Prima di salutarvi, un paio di approfondimenti per chi fosse interessato:

 

- tra le schede didattiche della scuola primaria abbiamo parlato del goniometro, uno strumento che permette di misurare gli angoli in gradi, primi e secondi in modo abbastanza semplice;

 

- tra le lezioni di Algebra potete leggere una guida dedicata alle operazioni tra angoli;

 

- da ultimo, il sistema numerico in cui rientra la misura dei gradi (di 60 in 60) viene detto sistema sessagesimale.

 

Chiudiamo con una raccomandazione: esercitatevi, e non esitate nel servirvi degli esercizi svolti che potete reperire qui su YM con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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