Teoremi di Euclide

I teoremi di Euclide sono due importantissimi risultati che mettono in relazione le misure dei cateti, dell'ipotenusa e dell'altezza di un triangolo rettangolo con le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

 

Tra i matematici che hanno contribuito con i teoremi fondamentali della Geometria piana, nella Grecia antica, Euclide occupa un posto molto importante: in questa lezione parliamo per l'appunto dei due teoremi di Euclide, relativi ai triangoli rettangoli, e vediamo come essi forniscano delle utilissime formule che legano le misure dei lati e dell'altezza relativa all'ipotenusa tra loro.

 

Premessa per i teoremi di Euclide: le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa

 

Prima di enunciare i due risultati dobbiamo comprendere cosa si intende con l'espressione "proiezione dei cateti sull'ipotenusa".

 

Consideriamo un triangolo rettangolo ABC, retto in A, tracciamo l'altezza relativa all'ipotenusa e chiamiamo H il suo piede. Questo punto divide l'ipotenusa in due segmenti, non necessariamente congruenti, che chiameremo CH e HB. Essi hanno un nome particolare: 

 

- CH è la proiezione del cateto AC sull'ipotenusa;

 

- BH è la proiezione del cateto AB sull'ipotenusa.

 

Naturalmente la somma delle misure delle proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa coincide con la misura dell'ipotenusa

 

CH+BH= BC

 

proiezioni-dei-cateti-sull-ipotenusa-per-teoremi-di-euclide

 

Intuitivamente potremmo pensare alle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa come alle "ombre" che vengono "proiettate" dai cateti sul terreno "ipotenusa".

 

Ragazzi, attenzione a non sottovalutare questi nuovi termini! Gli esercizi che affronterete ne faranno uso, e se perdete di vista il loro significato non capirete la traccia dei problemi e di conseguenza non potrete trovare la soluzione.

 

Primo teorema di Euclide

 

È giunta l'ora di entrare nel vivo! Vediamo l'enunciato del primo teorema di Euclide: in un triangolo rettangolo ABC, retto in A, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa.

 

Questo teorema mette in relazione sostanzialmente tre elementi del triangolo rettangolo: l'ipotenusa, un cateto e la sua proiezione sull'ipotenusa.

 

 

Primo teorema di Euclide

 

 

In riferimento alla figura, possiamo estrapolare le formule del primo teorema di Euclide:

 

AB^2= BH\times BC

 

Osserviamo che AB^2 è la misura dell'area del quadrato costruito sul cateto minore, mentre BH\times BC è l'area del rettangolo che ha per dimensioni la proiezione BH e l'ipotenusa del triangolo rettangolo BC.

 

In modo del tutto naturale possiamo scrivere le formule riferite al cateto maggiore AC e la proiezione CH. 

 

 

Disegno per il primo teorema di Euclide

 

 

Seguendo l'enunciato del primo teorema di Euclide, avremo che:

 

AC^2= CH\times BC

 

Ragioniamo come abbiamo fatto in precedenza: AC^2 rappresenta l'area del quadrato costruito sul cateto AC, mentre CH\times BC è l'area del rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto AC sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa.

 

In realtà, il primo teorema di Euclide possiede un'altra formulazione, del tutto equivalente alla prima: in un triangolo rettangolo, ciascun cateto è il medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa.

 

In formule ciò si traduce nelle seguenti proporzioni

 

\\ BC:AB=AB:BH\\ \\ BC:AC= AC:CH

 

e grazie ad esse possiamo risolvere moltissimi problemi di geometria. Vediamo un esempio di applicazione.

 

Esempio sul primo teorema di Euclide

 

Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo, retto in A, la cui ipotenusa misura 10\ cm e la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa misura invece 3,6\ cm.

 

Conosciamo l'ipotenusa BC=10\ cm e una proiezione di un cateto minore BH=3,6\ cm. Grazie al primo teorema di Euclide possiamo costruire la proporzione per calcolare la misura del cateto minore AB

 

BC:AB=AB:BH

 

Sostituiamo i dati in nostro possesso

 

10:AB=AB:3,6

 

A questo punto possiamo calcolare la lunghezza del segmento AB usando la relativa formula. Nel caso non la ricordaste, tenete a mente che potete ricavarla dalla proporzione usando la proprietà fondamentale delle proporzioni

 

AB^2=10\times 3,6\ \to\ AB=\sqrt{36}=6\ cm

 

La proiezione relativa al cateto maggiore si può ricavare come differenza:

 

CH=BC-BH=10-3,6=6,4\ cm

 

Utilizziamo nuovamente il primo teorema di Euclide per calcolare la misura del cateto maggiore

 

BC:AC= AC:CH

 

Sostituiamo i dati

 

10:AC=AC:6,4

 

quindi

 

AC= \sqrt{10\times 6.4}= 8\ cm

 

Abbiamo determinato tutti gli ingredienti per calcolare il perimetro. 

 

P=AB+BC+CA=6+ 10+8= 24\ cm

 

Vi facciamo notare che, dopo aver determinato la misura del cateto minore con il primo teorema di Euclide, avremmo potuto calcolare la misura del cateto maggiore con il teorema di Pitagora.

 

Secondo teorema di Euclide

 

Il secondo teorema di Euclide ci dà sostanzialmente le relazioni che legano l'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo con le proiezioni. Ecco l'enunciato: in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sulla ipotenusa.

 

 

Secondo teorema di Euclide

 

 

Utilizzando la disposizione delle lettere che leggiamo nella figura, possiamo scirvere:

 

AH^2=BH\times CH

 

Come nel caso del primo teorema, possiamo esprimere anche il secondo tramite una proporzione: in un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è il medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sulla ipotenusa

 

CH:AH=AH:BH

 

Esempio sul secondo teorema di Euclide

 

Vediamo un esempio relativo al secondo teorema di Euclide. Di un triangolo rettangolo conosciamo le proiezioni dei cateti CH=36\ cm, BH=64\ cm calcolare l'altezza relativa all'ipotenusa.

 

È sufficiente impostare la proporzione per ricavare la misura dell'altezza:

 

CH:AH=AH:BH

 

Sostituiamo i dati

 

36:AH=AH:64

 

Per ricavare la misura dell'altezza usiamo quindi la relativa formula:

 

AH^2=36\times 64\ \to\ AH=\sqrt{2304}=48\ cm

 

 


 

Ok ragazzi, abbiamo concluso! Nella lezione successiva parleremo del teorema di Talete; nel frattempo date un'occhiata alla scheda di esercizi svolti, e se ancora non bastassero ricordate che qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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