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Teoremi di Euclide

Tra i matematici che hanno contribuito con i teoremi fondamentali della Geometria piana, nella Grecia antica, Euclide occupa un posto molto importante: in questo articolo parliamo per l'appunto dei due teoremi di Euclide, relativi ai triangoli rettangoli, e vediamo come essi forniscano delle utilissime formule che legano le misure dei lati e dell'altezza relativa all'ipotenusa tra loro..

 

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Premessa per i teoremi di Euclide: le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa

 

Prima di enunciare i due risultati dobbiamo comprendere cosa si intende con l'espressione "proiezione dei cateti sull'ipotenusa".  Smile

 

Consideriamo un triangolo rettangolo ABC, retto in A, tracciamo l'altezza relativa all'ipotenusa e chiamiamo H il suo piede. Questo punto divide in due segmenti, non necessariamente congruenti, l'ipotenusa che chiameremo CH e HB. Essi hanno un nome particolare: 

 

- CH è la proiezione del cateto AC sull'ipotenusa;

 

- BH è la proiezione del cateto AB sull'ipotenusa.

 

Naturalmente la somma delle misure delle proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa coincide con la misura dell'ipotenusa

 

CH+BH= BC.

 

proiezioni-dei-cateti-sull-ipotenusa-per-teoremi-di-euclide

 

Intuitivamente potremmo pensare alle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa come alle "ombre" che vengono "proiettate" dai cateti sul terreno "ipotenusa". Wink

 

Ragazzi, attenzione a non sottovalutare questi nuovi termini! Gli esercizi che affronterete ne faranno uso,  e se perdete di vista il loro significato non capirete la traccia dei problemi e di conseguenza non potrete trovare la soluzione!

 

Ok! E' giunta l'ora di entrare nel vivo! Enunceremo il primo teorema di Euclide!

 

Primo teorema di Euclide

 

In un triangolo rettangolo ABC retto in A, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa.

 

Questo teorema mette in relazione sostanzialmente tre elementi del triangolo rettangolo: l'ipotenusa, un cateto e la sua proiezione sull'ipotenusa.

 

Primo teorema di Euclide

 

 

In riferimento alla figura, possiamo estrapolare le formule del primo teorema di Euclide:

 

AB^2= BH\times BC

 

Osserviamo che AB^2 è la misura dell'area del quadrato costruito sul cateto minore, mentre BH\times BC è l'area del rettangolo che ha per dimensioni la proiezione BH e l'ipotenusa del triangolo rettangolo BC.

 

In modo del tutto naturale possiamo scrivere le formule riferite al cateto maggiore AC e la proiezione CH. 

 

Disegno per il primo teorema di Euclide

 

Seguendo l'enunciato del primo teorema di Euclide avremo che:

 

AC^2= CH\times BC

 

Ragioniamo come abbiamo fatto in precedenza: AC^2 rappresenta l'area del quadrato costruito sul cateto AC mentre CH\times BC è l'area del rettangolo che ha per dimenzioni la proiezione del cateto AC sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa!

 

In realtà, il primo teorema di Euclide possiede un'altra formulazione, del tutto equivalente alla prima:

 

in un triangolo rettangolo, ciascun cateto è il medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa.

 

In formule ciò si traduce nelle proporzioni continue:

 

BC:AB=AB:BH

 

BC:AC= AC:CH

 

Da esse possiamo risolvere moltissimi problemi di geometria. Vediamo un esempio di applicazione:

 

Esempio sul primo teorema di Euclide

 

Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo, retto in A, la cui ipotenusa misura 10\,\, cm e la proiezione d'un cateto minore sull'ipotenusa misura invece 3.6\,\, cm.

 

Conosciamo l'ipotenusa BC= 10\,\, cm e una proiezione di un cateto minore BH=3.6\,\,cm. Grazie al primo teorema di Euclide possiamo costruire la proporzione:

 

BC:AB= AB: BH

 

10: AB= AB: 3.6

 

Possiamo calcolare la lunghezza del segmento AB:

 

AB= \sqrt{10\times 3.6}= 6\,\,cm

 

La proiezione relativa al cateto maggiore è data dalla relazione:

 

CH= BC-BH= 10-3.6= 6.4\,\,cm

 

Utilizziamo nuovamente il primo teorema di Euclide:

 

BC:AC= AC:CH

 

10: AC= AC: 6.4

 

quindi:

 

AC= \sqrt{10\times 6.4}= 8\,\, cm

 

Abbiamo determinato tutti gli ingredienti per calcolare il perimetro. 

 

P=AB+BC+CA=6+ 10+8= 24\,\, cm

 

Secondo teorema di Euclide

 

Il secondo teorema di Euclide ci dà sostanzialmente le relazioni che legano l'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo con le proiezioni. Ecco l'enunciato:

 

in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sulla ipotenusa.

 

Secondo teorema di Euclide

 

Utilizzando la disposizione delle lettere che leggiamo nella figura, possiamo scirvere:

 

AH^2= BH\times CH

 

Come nel caso del primo teorema, possiamo esprimere anche il secondo tramite una proporzione:


in un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sulla ipotenusa

 

CH:AH=AH: BH

 

Vediamo un esempio in cui interviene questo teorema:

 

Esempio sul secondo teorema di Euclide

 

Di un triangolo rettangolo conosciamo le proiezioni dei cateti CH= 36\,\,cm,\,\,\,\, BH=64\,\,cm calcolare l'altezza relativa all'ipotenusa.

 

È sufficiente impostare la proporzione:

 

CH: AH= AH: BH

 

36: AH= AH: 64

 

Quindi l'altezza è data da:

 

AH= \sqrt{36\times 64}= 48\,\, cm

 


 

Ok ragazzi, abbiamo concluso! Avete ancora dei dubbi? Fate una bella ricerca, troverete certamente quello di cui avete bisogno. E se non bastasse, niente paura: potrete sempre aprire una discussione nel nostro forum! Laughing

 

Alla prossima!

Ifrit

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Tags: primo teorema di Euclide, secondo teorema di Euclide, proiezione del cateto sull'ipotenusa, cosa dicono i teoremi di Euclide.

 

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