Dizionario di Geometria

Capita spesso ad un insegnante di inorridire di fronte alla scarsa conoscenza che anche l'allievo 'adulto' dimostra nei confronti della Geometria di base: è per questo che ho pensato di scrivere questo dizionario di Geometria Descrittiva. Se invece vi interessassero i formulari di Geometria Piana...click!

 

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"Quando due angoli si definiscono esplementari? Mah."..."Che cosa è un luogo geometrico? Boh."

 

Allora direi di riprendere queste definizioni essenziali partendo proprio dalla definizione di definizione. :)

 

 

Definizione

 

E' una frase con la quale si esprime la natura di un certo ente e si attribuisce ad esso un nome che lo contraddistingue.

 

Proposizione

 

Una frase è una proposizione se per essa ha senso dire che è vera o che è falsa.

 

Teorema

 

E' l'implicazione logica che può essere provata mediante una dimostrazione.

 

La proposizione che costituisce il teorema è detta enunciato e comprende la premessa (ipotesi) e l'oggetto dimostrabile (tesi). L'ipotesi (se) implica il verificarsi della tesi (si dimostra che).

 

Teorema inverso

 

E' l'implicazione logica che si ottiene da un precedente teorema scambiando l'ipotesi con la tesi.

 

E' conveniente enunciare unitamente un teorema e il suo inverso facendo precedere l'enunciato di uno solo di essi dalla locuzione condizione necessaria e sufficiente.

 

Dimostrazione per assurdo

 

E' la dimostrazione che consiste nel provare un enunciato mostrando che, negando la tesi, si perviene ad una contraddizione (si va contro l'ipotesi o contro un teorema precedente o contro un assioma o un postulato).

 

Corollario

 

E' una proposizione che costituisce l'immediata conseguenza di un precedente teorema.

 

Assioma

 

E' una proposizione assunta come vera perché ritenuta evidente.

 

Postulato

 

E' una proposizione assunta come vera ma non dimostrabile. ll termine deriva dal verbo latino postulo: ti prego di credere che è così anche se non posso dimostrartelo.

 

Geometria piana

 

Ha come oggetto di studio un insieme infinito detto piano i cui elementi di base si dicono punti.

 

Piano

 

E' un insieme illimitato di punti.

 

Punto

 

Entità geometrica priva di dimensioni.

 

N.B. I punti si indicano sempre con lettere maiuscole: 'punto A' e non 'punto a'

 

Retta

 

Insieme illimitato e ordinato di punti.

 

N.B. Due o più punti si dicono allineati quando appartengono alla stessa retta.

 

Rette incidenti

 

Insieme di rette che si intersecano in un punto.

 

Rette parallele

 

Insieme di rette che non hanno punti di intersezione.

 

Rette coincidenti

 

Due rette si dicono coincidenti quando tutti i punti della prima sono anche punti della seconda e viceversa.

 

I concetti di piano, punto e retta sono intuitivi.

 

Semiretta

 

Ciascuna delle due parti in cui la retta è divisa da un qualunque suo punto.

 

Segmento

 

Parte di retta compresa tra due punti.

 

Segmenti consecutivi

 

Due segmenti si dicono consecutivi quando hanno un estremo in comune.

 

Segmenti adiacenti

 

Due segmenti si dicono adiacenti quando sono consecutivi ed appartengono alla stessa retta.

 

Punto medio di un segmento

 

E' il punto che divide il segmento in due segmenti congruenti.

 

Angolo

 

Ciascuna delle due parti del piano identificate da due semirette aventi la stessa origine. L'origine O delle due semirette è detta vertice dell'angolo, le due semirette si dicono lati dell'angolo.

 

Angolo convesso

 

E' la parte di piano che non contiene i prolungamenti dei lati.

 

Angolo concavo

 

E' la parte di piano che contiene i prolungamenti dei lati.

 

Ampiezza di un angolo

 

L'ampiezza di un angolo si misura in gradi. Vedremo più avanti un altro criterio di misura (misura in radianti)

 

L'unità di misura è il grado sessagesimale, definito come la novantesima parte dell'angolo retto.

 

0° < Angolo acuto < 90°

 

Angolo retto = 90°

 

90° < Angolo ottuso < 180°

 

Per approfondire vedi angolo retto, angolo acuto, angolo ottuso.

 

Angolo piatto = 180°

 

Angolo giro = 360°

 

Angoli complementari: la loro somma è un angolo retto (90°)

 

Angoli supplementari: la loro somma è un angolo piatto (180°)

 

Angoli esplementari: la loro somma è un angolo giro (360°)

 

Per approfondire, vedi angoli complementari, supplementari e esplementari.

 

Angoli consecutivi

 

Due angoli sono consecutivi quando hanno in comune il vertice e un lato.

 

Angoli adiacenti

 

Due angoli sono adiacenti quando sono consecutivi e i lati non comuni appartengono alla stessa retta.

 

N.B. La somma di due angoli adiacenti è un angolo piatto (180°)

 

Angoli opposti al vertice

 

Due angoli si dicono opposti al vertice quando sono convessi e i lati dell'uno stanno sui prolungamenti dei lati dell'altro.

 

N.B.

 

Gli angoli opposti al vertice sono congruenti.

 

Un angolo al vertice ed il suo consecutivo sono supplementari perché adiacenti.

 

Bisettrice di un angolo

 

E' la semiretta di origine O che divide l'angolo in due angoli congruenti.

 

N.B. La bisettrice di un angolo piatto (180°) divide l'angolo in due angoli retti (90°)

 

Poiché un angolo retto è la metà di un angolo piatto e poiché tutti gli angoli piatti sono congruenti, possiamo dedurre che tutti gli angoli retti sono congruenti.

 

Due rette sono perpendicolari (o ortogonali) quando intersecandosi formano un angolo retto.

 

 

Proiezione ortogonale di un punto su una retta

 

E' il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta. Tale segmento si definisce anche come minima distanza o semplicemente distanza del punto dalla retta.


Proiezione ortogonale di un segmento su una retta

 

Se il segmento è esterno alla retta, la sua proiezione è il segmento di retta compreso tra le proiezioni dei due estremi del segmento sulla retta stessa.

 

Se un estremo del segmento è un punto della retta, la sua proiezione è il segmento di retta compreso tra l'estremo in comune e la proiezione dell'altro estremo sulla retta.

 

Se entrambi gli estremi del segmento sono punti della retta, la proiezione del segmento sulla retta coincide con il segmento stesso.

 

Per approfondire, vedi: proiezione ortogonale.

 

Poligonale

 

Si dice poligonale l'insieme di più segmenti a due a due consecutivi e non adiacenti.

 

I segmenti che formano la poligonale si dicono lati della poligonale.

 

Poligonale aperta

 

E' la poligonale i cui estremi sono distinti.

 

Poligonale chiusa

 

E' la poligonale i cui estremi coincidono.

 

Poligonale intrecciata

 

E' la poligonale in cui due lati non consecutivi hanno un punto in comune.

 

Poligono

 

E' la parte di piano delimitata da una poligonale chiusa.

 

N.B.

 

La parte di piano delimitata dalla poligonale costituisce la superficie del poligono. La misura di tale superficie è detta area del poligono. Attenzione quindi a non confondere i concetti di superficie e di area. La superficie è l'estensione del poligono. L'area è la misura dell'estensione del poligono.

 

Il contorno del poligono è detto perimetro del poligono ed congruente al segmento somma dei tre lati.

 

Triangolo

 

Dati tre punti non allineati A, B, C, si definisce triangolo l'insieme dei punti in comune ai tre angoli convessi ^ABC, ^BCA, ^CAB

 

Tali angoli sono detti angoli interni o semplicemente angoli del triangolo e la loro somma è sempre un angolo piatto (180°)

 

In quanto intersezione di figure convesse, il triangolo è una figura convessa.

 

Può anche definirsi triangolo la parte di piano delimitata da una poligonale di tre lati chiusa.

 

Il triangolo è quindi un poligono di tre lati e tre angoli.

 

Classificazione dei triangoli

 

a) secondo i lati

 

- triangolo scaleno: non ha lati congruenti.

- triangolo isoscele: ha due lati congruenti.

- triangolo equilatero: ha i tre lati congruenti.

 

N.B. Il triangolo equilatero è isoscele su ciascuno dei tre lati.

 

b) secondo gli angoli

 

- triangolo acutangolo: ha i tre angoli acuti

 

- triangolo rettangolo: ha un angolo ampio 90°

 

- triangolo ottusangolo: ha un angolo la cui ampiezza è maggiore di 90°

 

- triangolo equiangolo: ha i tre angoli congruenti, ciascuno ampio 180°/3 = 60°

 

N.B.

 

Gli altri due angoli del triangolo rettangolo e del triangolo ottusangolo sono acuti.

 

Gli angoli acuti del triangolo rettangolo sono complementari (la loro somma è 90°)

 

Il triangolo rettangolo, avendo un angolo ampio 90°, ha due lati perpendicolari tra loro. Tali lati prendono il nome di cateti mentre il terzo lato prende il nome di ipotenusa.

 

Il triangolo equiangolo non è altro che il triangolo equilatero.

 

Un particolare tipo di triangolo è il triangolo rettangolo isoscele. Essendo rettangolo ha un angolo ampio 90° ed essendo isoscele ha i due angoli acuti congruenti che, essendo complementari,  sono ampi ciascuno 45° Tale triangolo è la metà di un quadrato.

 

Un altro particolare tipo di triangolo è il triangolo rettangolo con l'ipotenusa congruente al doppio del cateto minore. Tale triangolo rettangolo ha gli angoli acuti complementari ampi 30° e 60° ed è quindi la metà di un triangolo equilatero. 

 

Angolo esterno di un triangolo

 

E' l'angolo adiacente ad un angolo interno del triangolo.

 

La somma di questi due angoli, poiché adiacenti, è un angolo piatto (180°)

 

Mediana di un triangolo

 

E' il segmento condotto da un vertice del triangolo al punto medio del lato opposto.

 

Bisettrice di un triangolo

 

E' il segmento che unendo un vertice al lato opposto biseca l'angolo, ovvero lo divide in due angoli congruenti.

 

Altezza di un triangolo

 

E' il segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto.

 

Asse di un triangolo

 

E' la perpendicolare ad un lato condotta per il punto medio del lato stesso.

 

N.B.

 

Ogni triangolo, avendo tre lati, ha tre mediane, tre bisettrici, tre altezze e tre assi.

 

Per approfondire, vedi altezza, mediana, bisettrice e asse.

 

Nel triangolo isoscele la mediana relativa alla base è anche altezza relativa alla stessa base,  bisettrice dell'angolo al vertice e asse della base.

 

Nel triangolo equilatero le altezze, le mediane e le bisettrici sono congruenti.

 

Nel triangolo rettangolo l'ipotenusa è divisa dalla mediana ad essa relativa in due segmenti congruenti alla stessa mediana.

 

Punti notevoli di un triangolo

 

Baricentro

 

E' il punto d'intersezione delle tre mediane del triangolo.

 

Il baricentro ha le seguenti caratteristiche:

 

a) divide la mediana in due segmenti che a partire dal vertice sono uno il doppio dell'altro.

 

b) è un punto sempre interno al triangolo.

 

Incentro

 

E' il punto di intersezione delle tre bisettrici del triangolo. E' così chiamato perché è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo.

 

L'incentro è un punto sempre interno al triangolo.

 

Ortocentro

 

E' il punto di intersezione delle tre altezze del triangolo.

 

L'ortocentro

 

a) è punto interno al triangolo se il triangolo è acutangolo

 

b) è punto esterno al triangolo se il triangolo è ottusangolo

 

c) coincide con il vertice dell'angolo retto nel triangolo rettangolo.

 

Circocentro

 

E' il punto di intersezione dei tre assi del triangolo. E' così chiamato perché è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.

 

Il circocentro

 

a) è punto interno al triangolo se il triangolo è acutangolo

 

b) è punto esterno al triangolo se il triangolo è ottusangolo

 

c) coincide con il punto medio dell'ipotenusa se il triangolo è rettangolo.

 

Nel triangolo equilatero baricentro, incentro, ortocentro e circocentro coincidono.

 

Ex-centro

 

E' il punto di intersezione tra le bisettrici di due angoli esterni e la bisettrice di un angolo interno ad essi non adiacente.

 

Ogni triangolo ammette tre circonferenze ex-inscritte i cui centri sono i tre ex-centri del triangolo.

 

Luoghi geometrici

 

Per definizione un luogo geometrico è il luogo dei punti del piano che godono, essi ed essi soli, di una determinata proprietà.

 

Finora, senza saperlo, abbiamo incontrato due luoghi geometrici.

 

Abbiamo studiato che l'asse di un segmento è la perpendicolare portata ad un segmento per il suo punto medio.

 

Se M è il punto medio del segmento AB e da M portiamo la perpendicolare ad AB, per ogni punto P appartenente a questa perpendicolare risulta sempre PA = PB

 

L'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento.

 

Abbiamo anche studiato che la bisettrice di un angolo è la semiretta che uscendo dal vertice dell'angolo lo divide in due angoli congruenti.

 

Se da un punto P appartenente alla bisettrice portiamo i segmenti di perpendicolare ai lati dell'angolo, si dimostra che tali segmenti (distanze di P dai lati dell'angolo) sono congruenti.

 

La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dai lati dell'angolo.

 

 

Saluti a tutti :)

 

Danni

 

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