Poligoni

Un poligono è una qualsiasi figura piana delimitata da una linea spezzata chiusa (detta anche poligonale chiusa) e costituita da lati, vertici e angoli. I poligoni vengono classificati in due tipologie, tra cui poligoni semplici e complessi. A loro volta i poligoni semplici si suddividono in poligoni concavi e convessi.

 

In questo formulario spiegheremo quali sono i poligoni e daremo tutte le definizioni di poligono, per ciascuna tipologia. Oltre alla classificazione dei poligoni elencheremo tutte le principali proprietà che li caratterizzano, dopodiché potrete passare ad esercitarvi con i nostri problemi ed esercizi svolti. ;)

 

Nota bene: su YouMath è anche presente una guida sui poligoni per la scuola elementare.

 

Definizione e classificazione dei poligoni

 

Definizione di poligono

 

Si definisce poligono una qualsiasi figura geometrica delimitata da una linea spezzata chiusa (poligonale chiusa), in cui i segmenti che la costituiscono vengono detti lati ed i punti di incontro dei lati vengono chiamati vertici. La prima e più generale classificazione dei poligoni prevede di dividere i poligoni tra poligoni semplici e poligoni complessi (♥).

 

 

Poligoni semplici

 

Si definisce poligono sempliceun poligono i cui lati non si intersecano. In buona sostanza, la linea spezzata chiusa che delimita un poligono semplice deve essere una linea semplice (cioè non intrecciata). I poligoni semplici si suddividono in poligoni convessi e poligoni concavi (♥♥).

 

 

Poligoni convessi

 

Si definisce poligono convesso un poligono che non contiene alcun prolungamento dei suoi lati. In altri termini, i poligoni convessi sono poligoni in cui ogni angolo interno è un angolo convesso.

 

 

Poligono convesso

Un poligono convesso
con 6 lati, 6 vertici e 6 angoli

 

 

Sono esempi di poligoni convessi:

 

- il triangolo;

 

- il quadrato, il rettangolo, il parallelogramma, il rombo, il trapezio (e più in generale qualsiasi quadrilatero convesso);

 

- il pentagono, l'esagono, l'ettagono, l'ottagono, l'ennagono, il decagono, il dodecagono...

 

 

Poligoni concavi

 

Si definisce poligono concavo un poligono che contiene i prolungamenti di anche uno solo dei suoi lati. In buona sostanza, i poligoni concavi sono poligoni aventi almeno un angolo concavo.

 

 

Poligono concavo

Un poligono concavo
con 7 lati, 7 vertici e 7 angoli

 

 

Poligoni complessi

 

Si definisce poligono complesso un poligono i cui lati si intersecano (poligono con lati intrecciati). In buona sostanza un poligono è complesso se la linea spezzata chiusa che lo delimita è una linea intrecciata.

 

 

Poligono complesso

Un poligono complesso 
con 8 lati, 8 vertici e 8 angoli

 

 

Attenzione: è importante non fare confusione con i nomi delle figure piane che conosciamo. Premesso che non esistono poligoni concavi né complessi con 3 lati, si può parlare di quadrilateri concavi o complessi (poligoni concavi con 4 lati), pentagoni concavi o complessi (con 5 lati), esagoni concavi o complessi (con 6 lati) e così via. Non si può però parlare, a titolo esemplificativo, di quadrato concavo o complesso né di rombo concavo o complesso. Con questo intendiamo che i nomi dei quadrilateri notevoli che ben conosciamo si riferiscono esclusivamente a dei quadrilateri convessi.

 

Ulteriori definizioni e classificazioni dei poligoni

 

In generale, è possibile fornire ulteriori classificazioni dei poligoni basate sui lati e sugli angoli, che esulano quindi dalla caratterizzazione semplice - complesso (♥♥♥).

 

Poligoni equilateri

 

Un poligono è equilatero se ha tutti i lati congruenti.

 

Poligoni equiangoli

 

Un poligono è equiangolo se ha tutti gli angoli congruenti.

 

 

È anche possibile individuare una specifica famiglia di poligoni, i cosiddetti poligoni ciclici (♥♥♥♥), che sono caratterizzati dalla proprietà di avere i vertici collocabili su una circonferenza.

 

 

C'è infine una quinta classificazione che divide l'insieme dei poligoni in poligoni regolari e poligoni irregolari (♥♥♥♥♥).

 

Poligoni regolari

 

Un poligono è regolare se è convesso, equilatero ed equiangolo. In modo del tutto equivalente, un poligono è regolare se è equilatero e ciclico. Data la loro particolare importanza ne parliamo nel dettaglio nel formulario successivo.

 

Poligoni irregolari

 

Si dice poligono irregolare un qualsiasi poligono che non è regolare.

 

Proprietà dei poligoni convessi

 

L'insieme dei poligoni protagonista degli studi alle scuole medie e superiori, e su cui ci concentreremo maggiormente per ovvi motivi didattici, è quello dei poligoni convessi. Vediamone le principali proprietà.

 

1) In un poligono la lunghezza di ogni lato è minore del semiperimetro.

 

2) Somma degli angoli interni di un poligono: la somma degli angoli interni di un poligono di n lati vale

 

(n-2)\pi

 

3) Somma degli angoli esterni di un poligono: indipendentemente dal numero di lati, la somma degli angoli esterni di un poligono è sempre pari ad un angolo giro, cioè pari a 360°.

 

4) Numero di diagonali: dato un poligono di n lati, per ogni vertice passano (n-3) diagonali

 

5) Numero totale di diagonali: il numero di diagonali di un poligono qualsiasi con n vertici è

 

\mbox{Numero diagonali}=\frac{n(n-3)}{2}

 

6) Inscrivibilità: un poligono si può inscrivere in una circonferenza se gli assi di tutti i suoi lati si incontrano in un unico punto detto circocentro, che è poi il centro della circonferenza circoscritta al poligono.

 

Come caso particolare, si tenga presente che qualsiasi triangolo (poligono con 3 lati) può essere sempre inscritto in una circonferenza perché per tre punti del piano passa una ed una sola circonferenza.

 

7) Circoscrivibilità: un poligono si può circoscrivere ad una circonferenza se le bisettrici di tutti i suoi angoli si incontrano in un unico punto, detto incentro, che è poi il centro della circonferenza inscritta nel poligono.

 

Le condizioni di inscrivibilità e di circoscrivibilità appena scritte hanno una particolarizzazione nel caso del quadrilatero. Per saperne di più puoi leggere il formulario dell'omonimo link.

 

8) Raggio della circonferenza inscritta in un poligono

 

Il raggio della circonferenza inscritta in un poligono si calcola come rapporto tra il doppio dell'area del poligono e il perimetro del poligono

 

r=\frac{2A}{2p}

 

 

Esercizi svolti sui poligoni

 

Lo sai che qui su YM ci sono molti problemi ed esercizi svolti sui poligoni? Puoi trovare tutto quello che ti serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 


 

Prima di salutarvi (vi aspettiamo nel formulario successivo, dedicato ai poligoni regolari) vorremmo rispondere ad una domanda che viene posta spesso dagli studenti. Il cerchio è un poligono? Per rispondere basta fare riferimento alla definizione data poco sopra: no, il cerchio (o più precisamente la circonferenza) non è un poligono perché è sì delimitato da una linea chiusa, che però non è spezzata. ;)

 

 

Sayonara, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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