Poligoni regolari

I poligoni regolari in Geometria sono un particolare tipo di poligoni; per definizione i poligoni regolari sono poligoni convessi equilateri ed equiangoli, ossia con i lati e gli angoli rispettivamente congruenti tra loro.

 

In questa lezione vi proponiamo la definizione e le formule sui poligoni regolari, spiegando quali sono i poligoni regolari e come si classificano.

 

Nota bene: ovviamente vale tutto quello che abbiamo detto nel formulario sui poligoni. Questa scheda si rivolge agli studenti della scuola media e delle scuole superiori. Nel caso foste interessati, qui su YouMath c'è anche una scheda didattica sui poligoni regolari per la scuola elementare.

 

Definizione di poligono regolare

 

Come abbiamo già anticipato, solitamente la definizione di poligono regolare che viene fornita a scuola è la seguente: i poligoni regolari sono poligoni convessi in cui tutti i lati sono congruenti tra di loro e tutti gli angoli sono congruenti tra di loro.

 

Per negazione della definizione, chiameremo poligoni irregolari tutti i poligoni che non sono equilateri ed equiangoli.

 

I principali poligoni regolari, quelli che per intenderci vengono studiati a scuola, sono i seguenti (nomi e rappresentazioni):

 

 

Triangolo equilatero

Quadrato

Pentagono

Triangolo equilatero Quadrato Pentagono regolare

Esagono

Ettagono

Ottagono

Esagono regolare Ettagono regolare Ottagono regolare

Ennagono

Decagono

Dodecagono

ennagono-regolare Decagono regolare Dodecagono regolare

 

 

Se indichiamo con N il numero dei lati di un generico poligono regolare, esso, chiaramente, avrà anche N angoli. Inoltre, dato un poligono regolare, è sempre possibile disegnare una circonferenza inscritta ed una circonferenza circoscritta.

 

Prima di procedere anticipiamo tre ulteriori definizioni irrinunciabili. Ci sono tre personaggi che giocano un ruolo fondamentale nell'ambito dei poligoni regolari: l'apotema, il numero fisso e la costante d'area dei poligoni regolari.

 

Definizione di apotema di un poligono regolare

 

Si definisce apotema di un poligono regolare il raggio del cerchio inscritto nel poligono regolare.

 

Definizione di numero fisso di un poligono regolare

 

Si definisce numero fisso di un poligono regolare, e si indica con f, il rapporto tra l'apotema e il lato:


f=\frac{a}{L}

 

Il numero fisso di un poligono regolare è una grandezza costante e dipende solo dal numero di lati del poligono regolare considerato.

 

Definizione di costante d'area di un poligono regolare

 

Chiamiamo costante d'area di un poligono regolare, e lo indichiamo con \varphi, il rapporto tra l'area ed il quadrato del lato:

 

\varphi=\frac{A}{L^2}

 

La costante d'area è, come suggerisce il nome stesso, una costante che dipende esclusivamente dal numero di lati del poligono regolare assegnato.

 

Formule dei poligoni regolari

 

Prima di elencare tutte le formule dei poligoni regolari, dobbiamo specificare un po' di nomi. Chiameremo N il numero di lati, L la lunghezza del lato, a l'apotema (raggio circonferenza inscritta), f il numero fisso, φ la costante d'area, R il raggio della circonferenza circoscritta, 2p il perimetro, p il semiperimetro ed A l'area del poligono regolare.

 

Nella seguente tabella riportiamo in grassetto le formule da ricordare e dalle quali si possono ricavare le restanti formule inverse, mediante semplici passaggi algebrici.

 

 

Perimetro del poligono regolare

2p=N\times L

Lato (dal perimetro)

L=\frac{2p}{N}

Numero di lati (dal perimetro)

N=\frac{2p}{L}

Numero fisso del poligono regolare

f=\frac{a}{L}

Apotema (con il numero fisso)

a=L\times f

Lato (con il numero fisso l'apotema)

L=\frac{a}{f}

Area del poligono regolare

A=\frac{2p\times a}{2}

Perimetro (dall'area)

2p=\frac{2A}{a}

Apotema (dall'area)

a=\frac{2A}{2p}

Costante d'area di un poligono regolare

\varphi=\frac{A}{L^2}

Area (dalla costante d'area)

A=L^2\times \varphi

Lato (dalla costante d'area)

L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}}

 

 

In precedenza abbiamo scritto che il numero fisso e la costante d'area sono valori costanti per ciascun tipo di poligono regolare. Nella seguente tabella riportiamo i valori del numero fisso e della costante d'area dei principali poligoni regolari.

 

 

Poligono

Numero di lati

Angolo

Numero fisso

Costante d'area

Triangolo equilatero

3

60°

0,289

0,433

Quadrato

4

90°

0,5

1

Pentagono

5

108°

0,688

1,720

Esagono

6

120°

0,866

2,598

Ettagono

7

≈128,571°

1,038

3,634

Ottagono

8

135°

1,207

4,828

Ennagono

9

140°

1,374

6,182

Decagono

10

144°

1,539

7,694

Dodecagono

12

150°

1,866

11,196

 

 

Per concludere la lunga trafila di formule dei poligoni regolari, riportiamo in una tabella a parte le formule relative al raggio della circonferenza circoscritta in relazione al lato, all'apotema e all'area.

 

 

Poligono

Lato

Apotema

Area

Triangolo equilatero

L=R\sqrt{3} a=\frac{R}{2} A=R^2\frac{3\sqrt{3}}{4}

Quadrato

L=R\sqrt{2} a=R\frac{\sqrt{2}}{2} A=2R^2

Pentagono

L=R\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2} a=R\frac{\sqrt{5}+1}{4} A=R^2\frac{5\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}

Esagono

L=R a=R\frac{\sqrt{3}}{2} A=R^2\frac{3\sqrt{3}}{2}

Ottagono

L=R\sqrt{2-\sqrt{2}} a=R\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} A=R^22\sqrt{2}

Decagono

L=R\frac{\sqrt{5}-1}{2} a=R\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} A=R^2\frac{5\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}

Dodecagono

L=R\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} a=R\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} A=3R^2

 

 

Problemi ed esercizi svolti sui poligoni regolari

 

Lo sapete che abbiamo svolto molti esercizi sui poligoni regolari? Trovate tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Tchau, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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