Quadrilatero

Un quadrilatero in Geometria è un qualsiasi poligono costituito da quattro lati. Si tratta di un tipo di figura piana che ricorre in tutta la carriera scolastica ed universitaria degli studenti, e che ammette una classificazione in diversi tipi di figure a noi ben note.

 

Qui di seguito ci concentreremo sui quadrilateri convessi. In particolare enunceremo la definizione e le principali formule del quadrilatero che, a dire il vero, vi capiterà raramente di usare, ma che è sempre meglio tenere a mente (non si sa mai... ;) ). Naturalmente abbiamo riportato la definizione e tutte le proprietà dei quadrilateri, compresi i teoremi fondamentali relativi ai quadrilateri inscritti e circoscritti. ;)

 

Definizione di quadrilatero

 

Per definizione, un quadrilatero (convesso) è un poligono (convesso) costituito da quattro lati.

 

 

Quadrilatero

Quadrilatero convesso

 

Formule quadrilatero

 

Come al solito, prima di riportare le formule del quadrilatero specifichiamo il significato dei simboli. Chiamiamo A, B, C, D i vertici, con 2p il perimetro, con p il semiperimetro e con A l'area del quadrilatero. Indichiamo poi con r il raggio della circonferenza inscritta.

 

Le formule che riportiamo nella seguente tabella sono le più generali possibili; di norma nei problemi si considerano quadrilateri particolari (vedi più in basso) per i quali si possono usare formule più specifiche.

 

 

Perimetro del quadrilatero

2p=AB+BC+CD+DA

Area del quadrilatero (formula di Brahmagupta)

S=\sqrt{(p-AB)(p-BC)(p-CD)(p-DA)}

Nota: calcolo dell'area

Si può inoltre calcolare l'area considerando una diagonale e sommando le aree dei due triangoli corrispondenti.

 

 

Teoremi e proprietà del quadrilatero

 

1) La somma degli angoli interni di un quadrilatero è pari ad un angolo giro (360°). In caso di dubbi, si veda somma degli angoli interni di un poligono.

 

2) Un quadrilatero è inscrittibile (inscrivibile, si può inscrivere) in una circonferenza se le somme delle ampiezze di angoli opposti coincidono:

 

\hat{A}+\hat{C}=\hat{B}+\hat{D}

 

 

3) Teorema di Tolomeo per quadrilateri inscritti (vale solo per quadrilateri inscrivibili in una circonferenza).

 

Il prodotto delle misure delle diagonali coincide con la somma dei prodotti delle misure delle due coppie di lati opposti del quadrilatero.

 

AC\times BD=AB\times CD+BC\times AD

 

 

4) Teorema di Legendre per quadrilateri inscritti (vale solo per quadrilateri inscrivibili in una circonferenza).

 

Il rapporto tra le due diagonali coindice con il rapporto tra le somme dei prodotti dei lati consecutivi che concorrono nei vertici delle rispettive diagonali. Più semplicemente:

 

\frac{AC}{BD}=\frac{AB\times BC+AD\times DC}{AB\times AD+BC\times DC}

 

 

5) Un quadrilatero è circoscrivibile (circoscrittibile, si può circoscrivere) ad una circonferenza se le somme delle misure delle coppie di lati opposti coincidono:

 

AB+CD=BC+DA

 

6) Il raggio della circonferenza circoscritta ad un quadrilatero si può calcolare con la formula:

 

Raggio circonferenza inscritta in un quadrilatero

 

 

Classificazione dei quadrilateri

 

Classificazione con un diagramma di Eulero-Venn

 

 

Insieme dei quadrilateri convessi

 

 

Tipi di quadrilateri particolari

 

- Il trapezio è un quadrilatero convesso con due lati paralleli.

 

- il parallelogramma è un quadrilatero convesso con i lati a due a due paralleli.

 

- il rombo è un quadrilatero convesso con i lati congruenti.

 

- il rettangolo è un quadrilatero convesso con gli angoli congruenti (90°).

 

- il quadrato è un quadrilatero convesso con i lati congruenti e gli angoli congruenti (90°).

 

 

Esercizi e problemi svolti sul quadrilatero

 

Lo sai che abbiamo svolto svariati esercizi sui quadrilateri? Trovi tutto quel che vuoi con la barra di ricerca interna! ;)

 

 

Bye bye, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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