Cerchio e circonferenza

Cerchio e circonferenza in Geometria sono rispettivamente la parte di piano delimitata dalla circonferenza e l'insieme dei punti equidistanti da un punto fissato, detto centro del cerchio. La distanza dei punti della circonferenza dal centro viene detta raggio.

 

Questo formulario è interamente dedicato a circonferenza e cerchio. Partendo dalla definizione, elencheremo nel dettaglio tutte le formule del cerchio, comprese le formule inverse, tra cui in particolare quella per calcolare l'area ed il perimetro. Successivamente analizzeremo tutte le proprietà di cerchio e circonferenza, le parti che li costituiscono e tutte le possibili posizioni reciproche tra due circonferenze.

 

Nota bene: se se in cerca del formulario di Geometria Analitica dedicato alla circonferenza, lo puoi consultare nella pagina dell'omonimo link. ;)

 

Definizione di cerchio e circonferenza

 

Nell'introduzione abbiamo già accennato alla definizione di cerchio e alla definizione di circonferenza. Rivediamole con calma:

 

- si definisce circonferenza il luogo dei punti del piano equidistanti da un dato punto, detto centro della circonferenza; il valore della distanza viene detto raggio;

 

- si definisce cerchio la parte di piano delimitata da una circonferenza.

 

 

Circonferenza e cerchio

 

 

Attenzione dunque: quando si scrive cerchio, si intende la regione di piano contenuta all'interno della circonferenza. Il cerchio è quindi una figura piana, caratterizzata da un'area e da un perimetro. Il perimetro del cerchio coincide con la lunghezza della circonferenza che lo delimita.

 

Formule cerchio e circonferenza

 

Prima di passare all'elenco delle formule del cerchio e della circonferenza, occupiamoci dei nomi e dei simboli. Indicheremo con r il raggio del cerchio, con d il diametro (doppio del raggio), con 2p il perimetro e con A l'area del cerchio.

 

Per quanto numerose siano le formule è sufficiente ricordare quelle in grassetto: tutte le altre formule inverse possono essere ricavate facilmente con passaggi algebrici immediati.

 

 

Diametro del cerchio

r=2d

Raggio (dal diametro)

d=\frac{r}{2}

Perimetro del cerchio

2p=2\pi r

Raggio (dal perimetro)

r=\frac{2p}{2\pi}

Perimetro (dal diametro)

2p=\pi d

Diametro (dal perimetro)

d=\frac{2p}{\pi}

Area del cerchio

A=\pi r^2

Raggio (dall'area)

r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}

Area del cerchio (con il diametro)

A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2

Diametro (dall'area)

d=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}

 

 

Altre definizioni (le relative formule vengono presentate negli omonimi formulari)

 

Pi Greco: definito come il rapporto tra la misura del perimetro e la lunghezza del diametro, è un valore costante per qualsiasi cerchio. È numero irrazionale che negli esercizi può essere lasciato indicato o approssimato come

 

\pi\approx 3,14

 

Raggio: segmento che congiunge il centro della circonferenza con un qualsiasi punto della circonferenza.

 

Corda: segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza.

 

Diametro: una qualsiasi corda che passa per il centro della circonferenza.

 

Arco di circonferenza: parte della circonferenza che unisce due punti qualsiasi della circonferenza.

 

Settore circolare: parte di cerchio contenuta tra un arco e i due raggi condotti dagli estremi dell'arco.

 

Segmento circolare: parte di cerchio contenuta tra un arco e la corda che congiunge gli estremi dell'arco.

 

Segmento circolare a due basi: parte di cerchio contenuta tra due corde parallele.

 

Quadrante: quarta parte di un cerchio.

 

Semicirconferenza: metà della circonferenza (semicerchio: metà del cerchio)

 

 

Proprietà di circonferenza e cerchio

 

1) Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza.

 

2) Qualunque corda che non passa per il centro è minore del diametro.

 

3) La perpendicolare mandata dal centro di una circonferenza ad una corda la divide in due parti uguali.

 

4) Ogni coppia di punti sulla circonferenza divide la circonferenza in due archi.

 

5) Ogni angolo al centro è il doppio del corrispondente angolo alla circonferenza.

 

6) Ad angoli congruenti al centro corrispondono archi e settori circolari congruenti, e viceversa.

 

7) Dato un poligono regolare, è sempre possibile inscrivervi e circoscrivervi una circonferenza.

 

8) Poiché per tre punti del piano passa una ed una sola circonferenza, è sempre possibile circoscrivere una circonferenza ad un triangolo qualsiasi.

 

9) Qualsiasi triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo.

 

Per tutte le condizioni relative all'esistenza della circonferenza inscritta e circoscritta, puoi leggere il formulario sul quadrilatero e quello sui poligoni.

 

 

Posizione reciproca tra rette e circonferenze

 

Data una retta e una circonferenza nel piano, ci sono tre possibili posizioni reciproche:

 

- retta esterna alla circonferenza (nessun punto di intersezione)

 

- retta tangente alla circonferenza (un unico punto di intersezione)

 

- retta secante la circonferenza (due punti di intersezione)

 

 

Posizioni tra circonferenza e retta

 

 

Posizione reciproca tra due circonferenze

 

Date due circonferenze nel piano, ci sono sei possibili reciproche posizioni:

 

- circonferenze esterne (nessun punto di intersezione)

 

- circonferenze tangenti esternamente (un unico punto di intersezione: caso limite di circonferenze esterne)


- circonferenze coincidenti

 

- circonferenze una interna all'altra (nessun punto di intersezione)

 

- circonferenze tangenti internamente (un unico punto di intersezione: caso limite di circonferenze una interna all'altra)

 

- circonferenze secanti (due punti di intersezione).

 

 

Posizioni tra due circonferenze

 

 

Problemi ed esercizi svolti su cerchio e circonferenza

 

Lo sai che abbiamo svolto molti esercizi sulla circonferenza e problemi sul cerchio?

 

 

Sayonara, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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