Triangolo rettangolo

Un triangolo rettangolo è un triangolo in cui uno degli angoli interni è un angolo retto, cioè misura 90°. I due lati perpendicolari di un triangolo rettangolo vengono detti cateti, mentre il lato opposto all'angolo retto viene chiamato ipotenusa.

 

Nel seguente formulario presentiamo la definizione e tutte le formule del triangolo rettangolo, utili per risolvere i problemi di scuola media e gli esercizi alle scuole superiori. Le abbiamo riportate proprio tutte: le formule dirette ed inverse per l'area, l'altezza e il perimetro, quelle relative al teorema di Pitagora e ai teoremi di Euclide... Ci sono anche le formule per i triangoli rettangoli particolari, cioè quelli aventi coppie di angoli acuti notevoli. Tra questi, il triangolo rettangolo isoscele (45°-45°) e quello con angoli acuti di 30°-60°.

 

Nel seguito riportiamo tutte le proprietà dei triangoli rettangoli, compresi gli enunciati dei più importanti teoremi, e per chiudere in bellezza vi rimandiamo ad una selezione di esercizi e problemi svolti.

 

Nota bene: vale naturalmente tutto quello che abbiamo visto nel formule sul triangolo. Qui non tratteremo i teoremi trigonometrici per il triangolo rettangolo, ai quali abbiamo dedicato un'apposita lezione della sezione dedicata alla Trigonometria

 

Definizione di triangolo rettangolo

 

Ci sono diverse possibili definizioni di triangolo rettangolo che si possono formulare, tutte equivalenti tra loro. Quella più semplice prevede di definirlo come un triangolo con un angolo retto, o in alternativa con due lati perpendicolari tra loro.

 

 

Triangolo rettangolo

Triangolo rettangolo
con rappresentazione dell'altezza 
relativa all'ipotenusa

 

Formule triangolo rettangolo

 

Prima di elencare le formule del triangolo rettangolo partiamo dai simboli. Indichiamo con c1 il cateto minore, con c2 il cateto maggiore, con i l'ipotenusa, con 2p il perimetro e con S l'area del triangolo rettangolo. Chiamiamo inoltre h l'altezza relativa all'ipotenusa, con p1 la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa e con p2 la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa.

 

Non fatevi spaventare dalla lunghezza della tabella. Le uniche formule che vanno veramente ricordate sono quelle in grassetto, grazie alle quali è possibile ricavare velocemente tutte le altre formule dirette ed inverse mediante passaggi algebrici immediati.

 

 

Perimetro del triangolo rettangolo

2p=i+c_1+c_2

Ipotenusa

i=2p-c_1-c_2

Cateto minore

c_1=2p-i-c_2

Cateto maggiore

c_2=2p-i-c_1

Area del triangolo rettangolo (semiprodotto dei cateti)

S=\frac{c_1\times c_2}{2}

Cateto minore (dall'area)

c_1=\frac{2S}{c_2}

Cateto maggiore (dall'area)

c_2=\frac{2S}{c_1}

Area del triangolo rettangolo

S=\frac{i\times h}{2}

Ipotenusa (dall'area)

i=\frac{2S}{h}

Altezza (dall'area)

h=\frac{2S}{i}

Altezza (dalle due formule per l'area)

h=\frac{c_1\times c_2}{i}

Teorema di Pitagora

i^2=c_1^2+c_2^2

Ipotenusa (con il teorema di Pitagora)

i=\sqrt{c_1^2+c_2^2}

Cateto minore (con il teorema di Pitagora)

c_1=\sqrt{i^2-c_2^2}

Cateto maggiore (con il teorema di Pitagora)

c_2=\sqrt{i^2-c_1^2}

Primo teorema di Euclide

\\ i:c_1=c_1:p_1\\ \\ i:c_2=c_2:p_2

Secondo teorema di Euclide

p_1:h=h:p_2

Altezza (con Euclide)

h=\sqrt{p_1\times p_2}

Proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa (Euclide)

p_2=\frac{c_2^2}{i}

Proiezione del cateto minore sull'ipotenusa (Euclide)

p_1=\frac{c_1^2}{i}

Triangolo rettangolo isoscele

 

Ipotenusa

i=c\sqrt{2}

Cateto

c=\frac{i}{\sqrt{2}}

Triangolo rettangolo 30°-60°

 

Cateto minore (dal cateto maggiore)

c_1=\frac{c_2}{\sqrt{3}}

Cateto maggiore (dal cateto minore)

c_2=c_1\sqrt{3}

Ipotenusa (dal cateto minore)

i=2c_1

 

Ipotenusa (dal cateto maggiore)

i=\frac{2}{\sqrt{3}}c_2

Cateto minore (dall'ipotenusa)

c_1=\frac{i}{2}

Cateto maggiore (dall'ipotenusa)

c_2=\frac{i\sqrt{3}}{2}

 

 

Proprietà del triangolo rettangolo

 

1) Ha un angolo interno pari a 90°, dunque due lati perpendicolari tra loro.

 

2) Il lato opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa, gli altri due lati si chiamano cateti.

 

3) Gli angoli interni diversi dall'angolo retto sono angoli acuti, e in particolare sono angoli complementari. Ciò è dovuto al fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi vale 180°, ed essendovi un angolo di 90°, la somma delle ampiezze degli altri due angoli è necessariamente pari a 90°.

 

4) L'ortocentro di un triangolo rettangolo coincide con il vertice dell'angolo retto.

 

5) Un triangolo rettangolo è sempre inscrivibile in una semicirconferenza. Il circoncentro coincide con il punto medio dell'ipotenusa, la quale coincide con il diametro della semicirconferenza circoscritta.

 

6) Un triangolo rettangolo è metà di un determinato rettangolo.

 

7) Ciascun cateto è l'altezza relativa all'altro cateto.

 

8) Vale il teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti. In simboli:

 

i^2=c_1^2+c_2^2

 

Infatti l'area di un quadrato si calcola come quadrato della misura del lato.

 

 

9) Vale il primo teorema di Euclide: in un triangolo rettangolo ciascun cateto è il medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa. In simboli

 

\\ i:c_1=c_1:p_1\\ \\ i:c_2=c_2:p_2

 

 

10) Vale il secondo teorema di Euclide: in un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è il medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa. In simboli

 

p_1:h=h:p_2

 

Per i teoremi di Euclide nel dettaglio, vi rimandiamo all'omonima lezione. Potete anche ripassare le proporzioni, in modo da dedurre agevolmente le varie formule che ne derivano.

 

 

Triangoli rettangoli con coppie di angoli notevoli (triangoli rettangoli notevoli)

 

Triangolo rettangoli con angoli acuti di 45°-45°

 

In questo caso i due cateti coincidono. Se chiamiamo la loro misura comune c=c_1=c_2, vale la seguente relazione tra la loro misura e la misura dell'ipotenusa

 

i=c\sqrt{2}\ \ \ ;\ \ \ c=\frac{i}{\sqrt{2}}

 

 

Triangoli rettangoli con angoli acuti di 30°-60°

 

Il cateto minore c_1 si oppone all'angolo minore di ampiezza 30^{o}, mentre il cateto maggiore c_2 si oppone all'angolo maggiore di ampiezza 60^{o}. Valgono le seguenti relazioni tra le misure dei cateti e dell'ipotenusa

 

\\ c_2=c_1\sqrt{3}\ \ \ ;\ \ \ c_1=\frac{c_2}{\sqrt{3}}\\ \\ \\ i=2c_1\ \ \ ;\ \ \ c_1=\frac{i}{2}\\ \\ \\ i=\frac{2}{\sqrt{3}}c_2\ \ \ ;\ \ \ c_2=\frac{i\sqrt{3}}{2}

 

 

Tchau, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati...........Lezione successiva


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