Triangolo

Un triangolo in Geometria è un poligono formato da tre lati e tre angoli, ed in particolare è il tipo di poligono con il minor numero possibile di lati che si possa costruire.

 

Qui di seguito vi proponiamo una sintesi completa sul triangolo, ed in particolare tutte le definizioni da sapere, le proprietà che caratterizzano i triangoli e le formule del triangolo qualsiasi.

 

Nota bene: nel corso di questo formulario presenteremo la classificazione dei triangoli e vedremo che è possibile distinguere tra diversi tipi di triangoli in base ai lati e agli angoli. Tra queste tipologie alcune ammettono ulteriori formule e proprietà, che tratteremo nei formulari correlati (rettangolo, isoscele, equilatero); per tutti gli altri tipi di triangoli (con particolare riferimento al triangolo scaleno) le uniche formule che valgono in generale sono quelle che potete leggere qui sotto.

 

A proposito: se siete in cerca delle formule goniometriche sui triangoli, le trovate nella sezione dedicata alla Trigonometria.

 

Definizione di triangolo

 

Quando ci si riferisce ad un triangolo qualsiasi, la definizione più semplice e generale prevede di individuarlo come un poligono con tre lati e tre vertici, o eventualmente come un poligono con tre lati e tre angoli.

 

 

Triangolo

Un triangolo qualsiasi

 

Formule triangolo

 

In primo luogo elenchiamo tutti i simboli che useremo per elencare le formule del triangolo. Non fatevi spaventare dalla lunghezza dell'elenco: leggendolo noterete che c'è una logica ricorrente nelle notazioni. Ricordatevi sempre che capire è molto più utile che studiare a memoria. ;)

 

Vertici: A, B, C

Area del triangolo: S

Perimetro: 2p - Semiperimetro: p

Altezza uscente da A relativa al lato BC: hA

Altezza uscente da B relativa al lato AC: hB

Altezza uscente da C relativa al lato AB: hC

Mediana uscente da A relativa al lato BC: mA

Mediana uscente da B relativa al lato AC: mB

Mediana uscente da C relativa al lato AB: mC

Bisettrice uscente da A relativa al lato BC: bA

Bisettrice uscente da B relativa al lato BC: bB

Bisettrice uscente da C relativa al lato BC: bC

Raggio della circonferenza circoscritta: Rcirc

Raggio della circonferenza inscritta: Rinsc

Raggio della circonferenza exinscritta, tangente lato BC: RA,exinsc

Raggio della circonferenza exinscritta, tangente lato AC: RB,exinsc

Raggio della circonferenza exinscritta, tangente lato AB: RC,exinsc

 

Ora siamo pronti per riportare tutte le formule del triangolo. Essendo formule riferite ad un triangolo qualsiasi, esse varranno sia per il triangolo scaleno che per gli altri particolari tipi di triangolo (rettangolo, isoscele, equilatero). Per agevolare la consultazione abbiamo diviso le formule in due gruppi: gli studenti della scuola media possono limitarsi al primo blocco, mentre gli studenti delle scuole superiori sono tenuti a conoscere tutte le formule.

 

Perimetro del triangolo

 

2p=AB+BC+AC

 

Area del triangolo

 

S=\frac{BC \times h_A}{2}=\frac{AB\times h_C}{2}=\frac{AC\times h_B}{2}

 

Area del triangolo (formula di Erone)

 

S=\sqrt{p\times (p-AB)\times (p-BC)\times (p-AC)}

 

Misure delle altezze del triangolo (dall'area)

 

\\ h_{A}=\frac{2S}{BC}\\ \\ \\ h_B=\frac{2S}{AC}\\ \\ \\ h_C=\frac{2S}{AB}

 

 

Formule per studenti delle scuole superiori

 

Raggio della circonferenza inscritta al triangolo

 

\\ R_{Insc}=\frac{2S}{2p}=\\ \\ \\ =\frac{2\sqrt{p\times (p-AB)\times (p-BC)\times (p-AC)}}{AB+BC+AC}

 

Raggio della circonferenza circoscritta al triangolo

 

R_{Circ}=\frac{AB\times BC\times AC}{4S}

 

Raggio della circonferenza exinscritta al triangolo, tangente lato BC

 

R_{A,exinsc}=\sqrt{\frac{p\times (p-AB)\times (p-AC)}{p-BC}}

 

Misure delle altezze del triangolo (dal semiperimetro)

 

\\ h_{A}=\frac{2}{BC}\sqrt{p\times (p-AB)\times (p-BC)\times (p-AC)}\\ \\ \\ h_B=\frac{2}{AC}\sqrt{p\times (p-AB)\times (p-BC)\times (p-AC)}\\ \\ \\ h_C=\frac{2}{AB}\sqrt{p\times (p-AB)\times (p-BC)\times (p-AC)}

 

Lunghezze delle mediane del triangolo

 

\\ m_A=\frac{1}{2}\sqrt{2(AC^2+AB^2)-BC^2}\\ \\ \\ m_B=\frac{1}{2}\sqrt{2(BC^2+BA^2)-AC^2}\\ \\ \\ m_C=\frac{1}{2}\sqrt{2(CA^2+CB^2)-AB^2}

 

Teorema dell'angolo esterno

 

In un triangolo ciascun angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni ad esso non adiacenti.

 

In formule, indicati con α, β e γ i tre angoli interni al triangolo e con α', β' e γ' i rispettivi angoli esterni, si ha che

 

\\ \widehat{\alpha'}=\widehat{\beta}+\widehat{\gamma}\\ \\ \widehat{\beta'}=\widehat{\alpha}+\widehat{\gamma} \\ \\ \widehat{\gamma'}=\widehat{\alpha}+\widehat{\beta}

 

Teorema della mediana

 

In un triangolo il doppio del quadrato della mediana relativa ad un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuito della metà del quadrato del primo.

 

In formule, indicati con M il punto medio del lato AB e con CM la mediana relativa al lato AB in riferimento alla figura in alto:

 

2CM^2=AC^2+CB^2-\frac{AB^2}{2}

 

Lunghezze delle bisettrici del triangolo

 

\\ b_{A}=\frac{2}{AB+AC}\sqrt{AB\times AC\times p \times (p-BC)}\\ \\ \\ b_{B}=\frac{2}{AB+BC}\sqrt{AB\times BC\times p \times (p-AC)}\\ \\ \\ b_{C}=\frac{2}{AC+BC}\sqrt{AC\times BC\times p \times (p-AB)}

 

Teorema della bisettrice

 

AB:AC=BP:PC

 

(dove P indica il punto di incontro tra la bisettrice l_A e il lato BC)

 

 

Fine formule per studenti delle scuole superiori

 
 

Proprietà e classificazione dei triangoli

 

Definizioni relative al triangolo

 

- Altezza relativa a un lato: è il segmento che congiunge il lato con il vertice opposto ed è perpendicolare al lato.

 

- Mediana relativa a un lato: è il segmento che congiunge il vertice opposto al lato e il punto medio del lato.

 

- Bisettrice relativa a un angolo: è il segmento che congiunge il vertice dell'angolo con il lato opposto tagliando l'angolo in due angoli di uguale ampiezza.

 

- Asse di un lato: è il segmento che divide il lato in due parti uguali ed è perpendicolare al lato.

 

Per approfondire: altezza, mediana, bisettrice e asse.

 

- Ortocentro: è il punti di intersezione delle tre altezze di un triangolo.

 

- Incentro: è il punto di incontro delle tre bisettrici del triangolo.

 

- Excentro opposto a un vertice: è il punto di incontro tra la bisettrice dell'angolo interno del vertice e delle due bisettrici degli angoli esterni degli altri due vertici.

 

- Baricentro: è il punto di intersezione delle tre mediane del triangolo.

 

- Circocentro: è il punto di intersezione dei tre assi del triangolo.

 

A tal proposito, dai un'occhiata a ortocentro, incentro, baricentro, circocentro ed excentro.

 

 

Proprietà del triangolo

 

1) Il triangolo è il poligono convesso con il minor numero di lati (3) che si può costruire.

 

2) La somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è pari ad un angolo piatto, cioè di ampiezza 180°.

 

3) Dato un triangolo qualsiasi esiste sempre una ed una sola circonferenza circoscritta (per tre punti del piano passa infatti una ed una sola circonferenza), il cui centro viene detto circocentro ed è il punto di incontro degli assi dei lati.

 

4) Dato un triangolo qualsiasi esiste sempre una ed una sola circonferenza inscritta, il cui punto viene detto incentro ed è il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni.

 

5) Disuguaglianza triangolare: la misura di ciascun lato è sempre minore della somma delle misure degli altri due lati.

 

 

Classificazione dei triangoli in base ai lati

 

Triangolo equilatero (equiangolo): è un triangolo con tre lati uguali (allo stesso modo, con tre angoli uguali di 60°).

 

Triangolo isoscele: è un triangolo con almeno due lati di lunghezza uguale.

 

Triangolo scaleno: è un triangolo con tre lati di lunghezze diverse (allo stesso modo, con tre angoli di ampiezze diverse).

 

 

Classificazione dei triangoli in base agli angoli

 

Triangolo rettangolo: è un triangolo con un angolo interno retto, cioè di 90°.

 

Triangolo acutangolo: è un triangolo con tutti gli angoli interni acuti, cioè minori di 90°.

 

Triangolo ottusangolo: è un triangolo con un angolo interno ottuso, cioè maggiore di 90°.

 

- Triangolo equiangolo: è un triangolo con i tre angoli interni congruenti, cioè di 60° (allo stesso modo, con i tre lati congruenti; in altri termini un triangolo è equiangolo se e solo se è equilatero).

 

 

Esercizi e problemi svolti sul triangolo

 

Lo sapete che abbiamo svolto molti problemi sui triangoli e che, tra le altre cose, c'è anche un comodo tool per calcolare l'area del triangolo online? :)

 

 

Sayonara, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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