Trapezio rettangolo, trapezio isoscele

Il trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli, detti basi, e due lati obliqui; un trapezio rettangolo è un trapezio con un lato obliquo perpendicolare alle basi; un trapezio isoscele è un trapezio con i lati obliqui congruenti e gli angoli adiacenti alle basi rispettivamente congruenti.

 

Sin dalla scuola media si affrontano tanti problemi ed esercizi che coinvolgono il trapezio, per poi proseguire alle scuole superiori. Il quadrilatero di cui parliamo in questo formulario è estremamente importante e vi accompagnerà nel corso della vostra intera carriera scolastica, quindi armatevi di pazienza e concentrazione. Qui di seguito trovate tutto quello che c'è da sapere: oltre alla definizione di trapezio analizzeremo minuziosamente le definizioni di trapezio isoscele e di trapezio rettangolo, spiegandone le proprietà e mostrandone tutte le principali formule.

 

Per praticità scriveremo le varie formule inverse per area e perimetro del trapezio e chiuderemo in bellezza con una classificazione dettagliata dell'insieme dei trapezi. ;)

 

Trapezio

 

Riprendiamo la definizione di trapezio: un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli che vengono chiamati basi, mentre gli altri due lati vengono detti lati obliqui. In modo del tutto equivalente, un trapezio è un poligono con 4 lati di cui due sono paralleli tra loro.

 

Trapezio

Un trapezio

 

Trapezio rettangolo

 

Vediamo la definizione di trapezio rettangolo: è un trapezio in cui un lato obliquo è perpendicolare alle basi, per cui può essere anche definito come un trapezio in cui gli angoli adiacenti a un lato obliquo misurano 90°.

 

Trapezio rettangolo

Trapezio rettangolo

 

Trapezio isoscele

 

La definizione di trapezio isoscele è la seguente: è un trapezio in cui i lati obliqui sono congruenti e tale da avere angoli adiacenti alle rispettive basi congruenti.

 

Attenzione a non sottovalutare l'ipotesi sugli angoli adiacenti alle basi! ;)

 

Trapezio isoscele

Trapezio isoscele

 

Formule del trapezio

 

Ora occupiamoci delle formule del trapezio. Partendo dal caso generale passiamo successivamente alle formule del trapezio rettangolo e alle formule del trapezio isoscele, casi in cui le formule generali per area e perimetro continuano ovviamente a valere.

 

Riguardo ai nomi chiamiamo B la base maggiore, b la base minore, h l'altezza, L1 ed L2 i lati obliqui, 2p ed A il perimetro e l'area del trapezio, L la comune lunghezza dei lati obliqui nel trapezio isoscele e la lunghezza del lato obliquo non perpendicolare del trapezio rettangolo, d e D rispettivamente la diagonale minore e la diagonale maggiore del trapezio rettangolo.

 

Nella tabella evidenziamo in grassetto le formule più importanti; tutte le altre formule inverse possono essere ricavate facilmente con passaggi algebrici immediati.

 

 

Perimetro del trapezio

2p=b+B+L_1+L_2

Base maggiore (dato il perimetro)

B=2p-b-L_1-L_2

Base minore (dato il perimetro)

b=2p-B-L_1-L_2

Lato obliquo 1,2

L_{1,2}=2p-b-B-L_{2,1}

Area del trapezio

A=\frac{(b+B)\times h}{2}

Base maggiore (data l'area)

B=\frac{2A}{h}-b

Base minore (data l'area)

b=\frac{2A}{h}-B

Somma delle basi (data l'area)

B+b=\frac{2A}{h}

Altezza (data l'area)

h=\frac{2A}{B+b}

Formule del trapezio rettangolo

Lato obliquo (con altezza e basi, teorema di Pitagora)

L=\sqrt{h^2+(B-b)^2}

Altezza (con lato obliquo e basi)

h=\sqrt{L^2-(B-b)^2}

Proiezione del lato obliquo (con lato obliquo e altezza)

B-b=\sqrt{L^2-h^2}

Diagonale maggiore (con base maggiore e altezza)

D=\sqrt{h^2+B^2}

Altezza (con diagonale maggiore e base maggiore)

h=\sqrt{D^2-B^2}

Base maggiore (con diagonale maggiore e altezza)

B=\sqrt{D^2-h^2}

Diagonale minore (con base minore e altezza)

d=\sqrt{b^2+h^2}

Altezza (con diagonale minore e base minore)

h=\sqrt{d^2-b^2}

Base minore (con diagonale minore e altezza)

b=\sqrt{d^2-h^2}

Formule del trapezio isoscele

Perimetro del trapezio isoscele

2p=B+b+2L

Lato obliquo (teorema di Pitagora)

L=\sqrt{h^2+\left(\frac{B-b}{2}\right)^2}

Altezza (idem)

h=\sqrt{L^2-\left(\frac{B-b}{2}\right)^2}

Proiezione del lato obliquo (idem)

\frac{B-b}{2}=\sqrt{L^2-h^2}

 

 
 

 

Proprietà del trapezio

 

- Gli angoli adiacenti ai lati obliqui sono angoli supplementari. In particolare, un quadrilatero è un trapezio se e solo se due dei suoi angoli interni adiacenti a un lato sono supplementari.

 

- Le diagonali di un trapezio si tagliano in segmenti corrispondenti proporzionali. Dette esse AC,\ BD e detto M il loro punto di intersezione, risulta

 

AM:MC=BM:MD

 

Proprietà del trapezio rettangolo

 

- Uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi e forma con esse angoli di 90°.

 

Proprietà del trapezio isoscele

 

- I lati obliqui sono congruenti per definizione.

 

- Gli angoli adiacenti ad una stessa base sono congruenti per definizione.

 

- Le diagonali sono congruenti.

 

- Un trapezio isoscele è simmetrico rispetto alla retta passante per i punti medi delle due basi.

 

- Il lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto ad una semicirconferenza è uguale alla metà della base maggiore.

 

- Il lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza è uguale alla semisomma delle basi.

 

- Nel caso in cui si consideri una circonferenza inscritta in un trapezio isoscele, valgono le seguenti formule (r indica il raggio)

 

h=2r\ \ \ ;\ \ \ B+b=2L

 

Classificazione dei trapezi

 

Esistono diverse possibili classificazioni dei trapezi relative ai lati e agli angoli:

 

- in riferimento ai lati possiamo distinguere tra il trapezio isoscele, in cui sono presenti due lati opposti congruenti e gli angoli adiacenti alle rispettive basi sono congruenti, ed il trapezio scaleno, in cui i quattro lati hanno lunghezze diverse tra loro.

 

- In riferimento agli angoli si considera solamente il caso notevole del trapezio rettangolo, in cui sono presenti due angoli retti formati da un lato obliquo perpendicolare alle basi.

 

È importante notare che le due classificazioni in base ai lati e agli angoli sono indipendenti l'una dall'altra. Possiamo ad esempio avere un trapezio scaleno rettangolo, oppure un trapezio isoscele rettangolo. A seconda delle possibili configurazioni geometriche nella famiglia dei trapezi vengono definiti particolari quadrilateri che ben conosciamo.

 

Prima però conviene disegnare un bel diagramma di Venn per l'insieme dei trapezi. :) 

 

Insieme dei trapezi

Classificazione dei trapezi

 

Ora, partendo dalle definizioni, è facile capire quali sono i particolari tipi di trapezi che già conosciamo:

 

- un parallelogramma è un trapezio con i lati a due a due paralleli e a due a due congruenti. In generale un parallelogramma non è un trapezio isoscele a meno che non sia un rettangolo (unico caso in cui gli angoli adiacenti alle rispettive basi sono congruenti).

 

- Un rombo è un parallelogramma con i quattro lati uguali, quindi è un trapezio con i quattro lati congruenti e a due a due paralleli. In generale un rombo non è un trapezio isoscele a meno che non sia un quadrato (unico caso in cui gli angoli adiacenti alle rispettive basi sono congruenti).

 

- Un rettangolo è un parallelogramma con gli angoli interni ciascuno di 90°, dunque è un trapezio con i lati a due a due paralleli e con gli angoli interni ciascuno ampio 90°. Ne deduciamo che un rettangolo è un trapezio rettangolo (perché è un trapezio con un lato obliquo perpendicolare alle basi) e che è anche un trapezio isoscele (perché ha i lati obliqui congruenti con angoli adiacenti alle rispettive basi congruenti). Il rettangolo è l'unico caso di trapezio isoscele rettangolo.

 

- Un quadrato è un rombo con i quattro angoli interni congruenti (pari a 90°) ed è un rettangolo con i quattro lati congruenti, dunque il quadrato è un trapezio isoscele rettangolo (in quanto è un rettangolo) con i quattro lati uguali (in quanto rombo).

 

Attenzione perché, come potete notare dal precedente diagramma di Venn, ci sono trapezi che non sono parallelogrammi. Il precedente elenco non esaurisce tutti i possibili casi sui trapezi in generale e sui trapezi rettangoli od isosceli in particolare; ci siamo semplicemente limitati ad un'analisi dei quadrilateri notevoli in riferimento alle definizioni di trapezio che abbiamo visto in questa lezione.

 

 

Problemi ed esercizi svolti sul trapezio

 

Lo sapete che su YM ci sono tantissimi esercizi sul trapezio? Più in generale tenete conto che lo Staff ha risolto migliaia e migliaia di esercizi e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Tchau, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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