Quadrato

Un quadrato in Geometria è un poligono convesso formato da quattro lati congruenti e quattro angoli congruenti, ciascuno con un'ampiezza pari a 90°. In altri termini, un quadrato è un quadrilatero con quattro lati e quattro angoli congruenti, o ancora un poligono regolare con quattro lati.

 

In questo formulario riportiamo tutto quello che c'è da sapere sul quadrato. Per cominciare vi proponiamo la definizione e le formule del quadrato, comprese le formule inverse, utili nella risoluzione dei problemi e degli esercizi: area, diagonale, perimetro, lato, e così via.

 

Successivamente passiamo ad elencarne le proprietà, classificandolo in base alle ampiezze degli angoli interni e alla misura dei lati, e mettendo in luce le principali relazioni con le altre figure piane in Geometria. Per concludere vi rimandiamo ad una carrellata di esercizi e problemi svolti sul quadrato. ;)

 

Definizione di quadrato

 

Esistono diverse definizioni del quadrato del tutto equivalenti tra di loro. Tra queste, quella più comoda e più conveniente è la seguente: un quadrato è un quadrilatero equilatero ed equiangolo, avente cioè quattro lati congruenti e quattro angoli congruenti.

 

 

Quadrato

Quadrato 
con rappresentazione di una diagonale 

 

Formule quadrato

 

Per elencare le formule del quadrato partiamo dai nomi: indichiamo con L il lato del quadrato, con d la diagonale del quadrato, con 2p il perimetro e con A l'area.

 

In grassetto le formule da cui è possibile ricavare facilmente le formule inverse.

 

 

Perimetro del quadrato

2p=4L

Lato (con il perimetro)

L=\frac{2p}{4}

Area del quadrato (con il lato)

A=L^2

Lato (con l'area)

L=\sqrt{A}

Diagonale del quadrato (con il lato, mediante il teorema di Pitagora)

d=L\sqrt{2}

Lato (con la diagonale)

L=\frac{d}{\sqrt{2}}

Area del quadrato (con la diagonale)

A=\frac{d^2}{2}

Diagonale (con l'area)

d=\sqrt{2A}

 

 

Proprietà del quadrato

 

1) I lati sono congruenti tra di loro.

 

2) Gli angoli sono congruenti tra di loro.

 

3) Tutti gli angoli interni sono angoli retti.

 

4) I lati di un quadrato sono perpendicolari a due a due.

 

5) Un quadrato ha le diagonali perpendicolari tra loro.

 

6) Le diagonali di un quadrato si incontrano in un punto, detto centro del quadrato, che le divide entrambe in due segmenti congruenti.

 

7) Ciascuna diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli e isosceli, congruenti tra loro, con angoli alla base di 45°.

 

8) Le diagonali di un quadrato formano quattro triangoli isosceli con angoli alla base di 45°.

 

9) Un quadrato possiede 4 assi di simmetria; il centro del quadrato è il centro di simmetria per il quadrato.

 

10) Poiché le somme delle misure dei lati opposti coincidono (condizione di circoscrivibilità dei quadrilateri), è sempre possibile tracciare una circonferenza inscritta al quadrato.

 

11) Poiché le somme degli angoli opposti sono uguali (condizione di inscrivibilità dei quadrilateri), è sempre possibile disegnare una circonferenza circoscritta al quadrato.

 

12) Un quadrato è un rettangolo con i quattro lati congruenti.

 

13) È un poligono regolare.

 

14) Curiosità: dalla formula per l'area del quadrato A=L^2 deriva l'espressione "elevare al quadrato un numero", che significa calcolare la potenza con esponente 2 del numero.

 

 

Insieme dei quadrati

 

Classificazione con i diagrammi di Eulero-Venn

 

 

Insieme dei quadrati

 

 

Problemi ed esercizi svolti sul quadrato

 

Lo sapete che abbiamo svolto molti esercizi sul quadrato, e che su YM c'è anche un tool per risolvere il quadrato online?

 

 

Bye bye, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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