Triangolo scaleno

Un triangolo scaleno è un triangolo avente tutti e tre i lati di diversa misura o, equivalentemente, si può definire il triangolo scaleno come un triangolo avente tre angoli di diversa ampiezza.

 

In questo articolo proporremo tutte le formule del triangolo scaleno, comprese quelle per il calcolo del perimetro, dell'altezza e dell'area di un triangolo scaleno, per poi vedere come si classificano i triangoli scaleni in base agli angoli.

 

Nota bene: quando nei problemi di Geometria si legge la parola triangolo e non si specifica altro, si ci riferisce al caso più generale possibile e quindi dovrete trattare il triangolo come un triangolo scaleno. È quindi importante conoscere e ricordare le formule e le proprietà del triangolo scaleno che tra poco elencheremo.

 

Chi ha già studiato il nostro formulario sul triangolo non troverà quasi nulla di nuovo, quindi potrà procedere ad una lettura veloce di questo articolo.

 

Definizione di triangolo scaleno

 

Un triangolo scaleno si può definire in due modi: come un triangolo avente i lati non congruenti oppure come un triangolo avente gli angoli di ampiezza diversa.

 

 

Triangolo scaleno

Un triangolo scaleno

 

Formule triangolo scaleno

 

Prima di elencare tutte le formule del triangolo scaleno è necessario sapere cosa indicano i simboli che utilizzeremo: A, B e C rappresentano i tre vertici del triangolo i cui lati saranno AB, BC ed AC. 2p indicherà il perimetro, p il semiperimetro ed S l'area del triangolo scaleno.

 

Per le tre altezze useremo il simbolo h seguito da un pedice che indica il vertice da cui esce ciascuna altezza; quindi hA è l'altezza uscente da A e relativa al lato BC, hB è l'altezza uscente da B e relativa al lato AC, hC è l'altezza uscente da C e relativa ad AB.

 

Useremo la stessa notazione per le tre mediane del triangolo scaleno, che indicheremo con la lettera m, e per le tre bisettrici che saranno indicate con la lettera b.

 

Infine RInsc, RCirc ed RExinsc rappresentano i raggi della circonferenza inscritta, circoscritta ed exinscritta al triangolo.

 

Nella tabella seguente abbiamo riportato tutte le formule sul triangolo scaleno: le uniche formule da ricordare sono quelle riportate in grassetto, mentre le altre formule inverse possono essere ricavate mediante semplici passaggi algebrici. Quelle del primo gruppo sono richieste a tutti gli studenti dalla scuola media in poi, mentre il secondo blocco si rivolge esclusivamente agli studenti delle scuole superiori.

 

 

Perimetro del triangolo scaleno

 

2p=AB+BC+AC

 

Lati (dal perimetro)

 

\\ AB=2p-BC-AC\\ \\ BC=2p-AB-AC\\ \\ AC=2p-AB-BC

 

Area del triangolo scaleno (con lato e altezza)

 

\\ S=\frac{AB \times h_C}{2}\\ \\ S=\frac{BC \times h_A}{2}\\ \\ S=\frac{AC \times h_B}{2}

 

Lati (dall'area)

 

\\ AB=\frac{2 \times S}{h_C}\\ \\ BC=\frac{2 \times S}{h_A}\\ \\ AC=\frac{2 \times S}{h_B}

 

Altezze del triangolo scaleno (dall'area)

 

\\ h_A=\frac{2 \times S}{BC}\\ \\ h_B=\frac{2 \times S}{AC}\\ \\ h_C=\frac{2 \times S}{AB}

 

Area di un triangolo scaleno (formula di Erone)

 

S=\sqrt{p\times (p-AB) \times (p-BC) \times (p-AC)}

 

Altezze (dalla formula di Erone)

 

\\ h_A=\frac{2}{BC}\sqrt{p \times (p-AB) \times (p-BC) \times (p-AC)}\\ \\ h_B=\frac{2}{AC}\sqrt{p \times (p-AB) \times (p-BC) \times (p-AC)}\\ \\ h_C=\frac{2}{AB}\sqrt{p \times (p-AB) \times (p-BC) \times (p-AC)}

 

 

Formule speciali - Per studenti delle scuole superiori

 

Mediane del triangolo scaleno

 

\\ m_A=\frac{1}{2}\sqrt{2(AC^2+AB^2)-BC^2}\\ \\ m_B=\frac{1}{2}\sqrt{2(BC^2+AB^2)-AC^2}\\ \\ m_C=\frac{1}{2}\sqrt{2(AC^2+BC^2)-AB^2}

 

Bisettrici del triangolo scaleno

 

\\ b_A=\frac{2}{AB+AC}\sqrt{AB \times AC \times p \times (p-BC)}\\ \\ b_B=\frac{2}{AB+BC}\sqrt{AB \times BC \times p \times (p-AC)}\\ \\ b_C=\frac{2}{AC+BC}\sqrt{AC \times BC \times p \times (p-AB)}

 

Raggio della circonferenza inscritta al triangolo scaleno

 

\begin{align*}R_{Inscr} & =\frac{2S}{2p} \\ \\ & = \frac{2\sqrt{p\times (p-AB) \times (p-BC) \times (p-AC)}}{AB+BC+AC} \end{align*}

 

Raggio della circonferenza circoscritta al triangolo scaleno

 

\begin{align*}R_{Circ} & =\frac{AB \times BC \times AC}{4S} \\ \\ & = \frac{AB \times BC \times AC}{4\sqrt{p\times (p-AB) \times (p-BC) \times (p-AC)}}\end{align*}

 

Raggio della circonferenza exinscritta al triangolo scaleno, tangente al lato AB

 

R_{C, Exinsc} = \sqrt{\frac{p \times (p-BC) \times (p-AC)}{p-AB}}

 

Fine delle formule speciali - Per studenti delle scuole superiori

 

Classificazione del triangolo scaleno

 

Esistono tre tipi di triangolo scaleno che si differenziano a seconda del tipo di angoli.

 

Triangolo scaleno acutangolo: detto semplicemente triangolo acutangolo è caratterizzato dall'avere tre angoli acuti; ossia i suoi tre angoli interni hanno ampiezza minore di 90°.

 

Triangolo scaleno ottusangolo: è un triangolo scaleno con un angolo interno ottuso e quindi maggiore di 90°; ci si riferisce ad esso col nome di triangolo ottusangolo.

 

Triangolo scaleno rettangolo: è un triangolo con tre angoli disuguali di cui uno è un angolo retto; quindi un triangolo scaleno rettangolo è un triangolo rettangolo con tre lati disuguali.

 

Proprietà del triangolo scaleno

 

Le proprietà sul triangolo scaleno che abbiamo elencato qui di seguito valgono per qualsiasi tipo di triangolo.

 

1) Il triangolo scaleno è un poligono convesso.

 

2) La somma degli angoli interno di un triangolo scaleno è uguale ad un angolo piatto, cioè a 180°.

 

3) In un triangolo scaleno, e quindi in qualsiasi triangolo, ad angolo maggiore si oppone lato maggiore e, viceversa, a lato maggiore si oppone angolo maggiore.

 

4) Disuguaglianza triangolare: la misura di ciascun lato è minore della somma delle misure degli altri due lati.

 

5) Le tre altezze di un triangolo scaleno si incontrano in un punto detto ortocentro; nel triangolo scaleno ottusangolo l'ortocentro è un punto esterno al triangolo, mentre è interno nel triangolo scaleno acutangolo e rettangolo.

 

6) Le tre mediane di un triangolo scaleno si incontrano in un punto, detto baricentro, che è sempre interno al triangolo.

 

7) Le tre bisettrici di un triangolo scaleno hanno come punto di incontro l'incentro che coincide con il centro della circonferenza inscritta al triangolo.

 

8) I tre assi di un triangolo scaleno si intersecano in un punto interno al triangolo detto circocentro; come suggerisce il nome, il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.

 

9) La bisettrice di un angolo interno e le bisettrici degli angoli esterni ad esso non adiacenti si incontrano in un punto esterno al triangolo detto excentro; tale punto è il centro della circonferenza exinscritta al triangolo scaleno, la quale è tangente al lato opposto al primo angolo.

 

Per saperne di più:

 

- ortocentro, incentro, baricentro, circocentro ed excentro;

 

- altezza, mediana, asse e bisettrice di un triangolo.

 

 

Esercizi e problemi svolti sul triangolo scaleno

 

Per una serie di esercizi svolti sul triangolo scaleno potete consultare la nostra scheda di esercizi sui triangoli - click! :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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