Simmetria e tipi di simmetrie piane

Il termine simmetria fa parte del linguaggio di tutti i giorni ma quanti sono in grado di dire con esattezza cos'è una simmetria? In questa lezione vedremo proprio cosa si intende, in geometria, con la parola simmetria per poi analizzare nel dettaglio i vari tipi di simmetria esistenti.

 

Definizione di simmetria

 

Considerato un qualsiasi ente geometrico o più in generale una qualsiasi figura piana, una simmetria è una particolare trasformazione geometrica che trasforma l'oggetto in questione mantenendone inalterate la forma e le caratteristiche misurabili (come la lunghezza dei lati e l'ampiezza degli angoli). Come tali, le simmetrie sono particolari isometrie.

 

Possiamo inoltre pensare alle simmetrie come a particolari proprietà di una figura. Vi sarà infatti capitato, almeno una volta, di sentire espressioni del tipo: la circonferenza è simmetrica di se stessa rispetto al centro oppure il rombo è simmetrico rispetto alle sue diagonali o ancora il quadrato ha 4 assi di simmetria, e così via..

 

Viene quindi spontaneo chiedersi: come viene trasformata una figura piana tramite una simmetria? Quando e rispetto a cosa una figura è simmetrica di se stessa?

 

Per rispondere a queste domande bisogna innanzitutto aver presenti i vari tipi di simmetria e sarà proprio questo l'argomento del prossimo paragrafo. Wink

 

Tipi di simmetrie

 

Definiamo ora i principali tipi di simmetria partendo dalla simmetria assiale.

 

Come suggerisce il nome stesso, per definire la simmetria assiale abbiamo bisogno di un segmento o, più in generale, di una retta (la quale si dirà asse di simmetria). Preso un qualsiasi punto P del piano, la simmetria assiale associa al punto P un altro punto del piano P' in modo tale che l'asse di simmetria sia asse del segmento PP'.

 

 

Simmetria assiale nel piano

 

 

Cioè per ricavare il punto P' (a partire dal punto P) tracciamo un segmento PM in modo da formare un angolo retto con l'asse di simmetria e, successivamente prolunghiamo il segmento PM dalla parte di M di un segmento MP'=MP.

 

Presa ora una qualsiasi figura piana F e fissato quello che sarà il nostro asse di simmetria (che può avere o non avere punti in comune con la figura stessa), per costruire la figura F' simmetrica di F rispetto all'asse, basta ricavare il simmetrico di ogni punto della figura proprio come visto poco fa.

 

A titolo di esempio prendiamo un quadrilatero ABCD ed una retta r (in arancione) che interseca il quadrilatero. Ricaviamo quindi i vertici A', B', C' e D' simmetrici, rispettivamente, dei vertici A, B, C e D del quadrilatero di partenza rispetto alla retta r.

 

 

Simmetria assiale tra figure

 

 

Diremo che i due quadrilateri ABCD ed A'B'C'D' si corrispondono in una simmetria assiale.

 

Come potete notare i punti che stanno sull'asse di simmetria hanno come trasformati se stessi. Tali punti si diranno punti uniti e, in generale, in una simmetria assiale, tutti i punti dell'asse di simmetria sono punti uniti e tutte le rette perpendicolari all'asse sono rette unite.

 

Un'altra piccola osservazione: abbiamo volutamente disposto i vertici del quadrilatero ABCD in senso orario (a partire dal vertice A fino ad arrivare al vertice D). Notate la disposizione dei vertici A', B', C', D'. Sempre partendo dal vertice A' (trasformato di A) fino ad arrivare al vertice D' (trasformato di D), la disposizione ha cambiato verso. Sono infatti disposti in verso antiorario.

 

Diremo allora che la simmetria assiale è un'isometria invertente (o inversa).

 

Chiarito cosa si intende per simmetria assiale, diremo che una figura piana è simmetrica di se stessa rispetto ad una simmetria assiale se ogni punto della figura è il simmetrico, rispetto alla retta r, di un altro punto della figura stessa:

 

 

Simmetria assiale in una figura piana

 

 

Ad esempio ogni poligono regolare, per come è costruito, ha tanti assi di simmetria quanti sono i suoi lati.

 

 

Simmetria centrale

 

La simmetria centrale si definisce a partire da un punto, generalmente indicato con O, che prende il nome di centro di simmetria.

 

Fissato un qualsiasi punto P del piano (non coincidente con O), la simmetria centrale associa al punto P un altro punto P' del piano in modo tale che il punto O sia punto medio del segmento PP'.

 

 

Simmetria centrale

 

 

Pertanto, in una simmetria centrale di centro O, per costruire il simmetrico di un punto P basta tracciare il segmento avente per estremi i punti P ed O e prolungarlo, dalla parte di O di un segmento OP'=OP.

 

Seguendo questo procedimento è quindi possibile ricavare la figura simmetrica di una qualsiasi figura piana rispetto ad una simmetria centrale.

 

A titolo di esempio consideriamo un triangolo ed un punto O. Costruendo il simmetrico rispetto al punto O di ogni vertice A, B e C del triangolo si ottiene un nuovo triangolo A'B'C' che sarà il simmetrico del triangolo ABC in una simmetria centrale:

 

 

Simmetria centrale tra figure del piano

 

 

Diremo, cioè, che i due triangoli si corrispondono in una simmetria di centro O.

 

Come potete osservare, questa volta, a differenza di quanto accaduto nella simmetria assiale, i vertici del triangolo immagine mantengono lo stesso verso (orario) dei vertici del triangolo di partenza. La simmetria centrale è quindi una isometria non invertente (o diretta). Inoltre l'unico punto fisso in tale simmetria è il centro di simmetria e tutte le rette passanti per il centro sono rette unite.

 

Se una figura piana è tale che ogni suo punto è il simmetrico, rispetto ad un punto O, di un altro punto appartenente alla figura stessa, diremo che essa possiede una simmetria centrale ed il punto O si dirà suo centro di simmetria:

 

 

Figura con simmetria centrale

 

 

Ad esempio, nei poligoni regolari con un numero pari di lati, il centro della circonferenza ad essi inscritta (o circoscritta) è centro di simmetria per il poligono.

 

Prima di procedere oltre facciamo un piccolo riepilogo. Abbiamo fin qui visto che, nel piano, si può definire una simmetria fissando una retta (nel caso della simmetria assiale) o un punto (come accade nella simmetria centrale). Procedendo poi in modo opportuno si costruisce la figura simmetrica della figura di partenza. 

 

Inoltre la simmetria assiale e la simmetria centrale possono essere intese come proprietà che una figura piana può, o meno, possedere. È proprio questo il caso della simmetria radiale. Entriamo ora più nel dettaglio.

 

 

Simmetria radiale

 

Diremo che una figura piana è simmetrica di se stessa rispetto ad una simmetria radiale se ruotandola attorno ad un punto O si ottiene una figura che si sovrappone perfettamente a quella di partenza.

 

Ad esempio, una circonferenza possiede una simmetria radiale, in quanto, ruotandola attorno al suo centro (di un qualsiasi angolo) si ottiene una nuova circonferenza che si sovrappone perfettamente a quella di partenza.

 

Possiamo inoltre parlare di ordine di una simmetria radiale. Diremo cioè che una figura piana possiede una simmetria radiale di ordine p (numero naturale diverso da zero), se esiste un punto O (detto centro di simmetria radiale) tale che la rotazione di centro O ed angolo

 

\alpha=\frac{360^{\circ}}{p}

 

permette di ottenere, ad ogni rotazione di angolo α, una figura che coincide con la figura di partenza. 

 

Prendiamo, ad esempio, un pentagono regolare. Il suo centro di simmetria è anche centro di simmetria radiale la quale ha ordine p=5. Infatti, fissato un verso di rotazione (orario o antiorario) e ruotando il pentagono per 5 volte di un angolo

 

\alpha=\frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}

 

si ottiene, ad ogni rotazione, un pentagono che coincide perfettamente con quello iniziale.

 

 

simmetria radiale

 

 

Tutti i poligoni regolari hanno una simmetria radiale ed il centro di simmetria radiale coincide con il centro della circonferenza inscritta (o circoscritta).

 

Spesso potrebbe capitarvi di sentir parlare di simmetria traslazionale o simmetria per rotazione. Nessuna paura! Ci si sta riferendo, semplicemente, alla traslazione o alla rotazione nel senso con cui le conoscete e che potete approfondire cliccando sui precedenti link Wink

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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