Trasformazioni geometriche piane

In questa lezione introdurremo il concetto di trasformazione geometrica piana per poi definire, classificare ed esaminare nel dettaglio le principali trasformazioni geometriche. Abbiamo tanto di cui parlare quindi non perdiamoci in chiacchiere. ;)

 

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Definizione di trasformazione geometrica

 

Una trasformazione geometrica piana è una funzione biiettiva del piano in sé, ossia una corrispondenza biunivoca che associa punti del piano a punti del piano stesso.

 

Per intenderci, indicato con \Omega l'insieme dei punti del piano, una trasformazione geometrica piana è una funzione da \Omega \ \mbox{in} \ \Omega che ad un punto P del piano associa un altro punto P' del piano detto immagine di P tramite la trasformazione; volendo esprimerci con del simbolismo matematico:

 

f: \Omega \to \Omega, \ P \in \Omega \mapsto f(P)=P' \in \Omega

 

Questo però non basta! Tale funzione è biiettiva, ovvero per ogni punto P' del piano esiste uno ed un solo punto P di cui P' è immagine tramite f.

 

Trasformazione geometrica di una figura piana

 

Dalla definizione appena vista è evidente che, data una qualsiasi trasformazione geometrica f e presa una qualsiasi figura piana \gamma, trovare la sua immagine tramite la trasformazione equivale a trovare l'immagine di ogni suo punto tramite f.

 

Otterremo così quella che si dice trasformata di \gamma tramite f e che si indica con f(\gamma).

 

Trasformazioni involutorie, elementi uniti ed elementi invarianti di una trasformazione geometrica

 

Prendiamo un qualsiasi ente geometrico (o una qualsiasi figura geometrica) \gamma ed applichiamogli una trasformazione geometrica f. Come abbiamo visto, otterremo l'immagine f(\gamma). Se, applicando nuovamente la trasformazione ad f(\gamma) otteniamo la figura di partenza, la trasformazione si dice involutoria.

 

In termini rigorosi: una trasformazione geometrica si dice involutoria se e solo se f[f(\gamma)]=\gamma.

 

Diremo invece elementi uniti di una trasformazione geometrica quegli elementi che hanno come immagine se stessi.

 

Nel prosieguo della lezione vedremo svariati esempi di trasformazioni geometriche involutorie ed elementi uniti.

 

Le trasformazioni geometriche vengono classificate in base alle proprietà (lunghezza dei segmenti, ampiezza degli angoli, parallelismo, direzioni, rapporto tra misure...) che non variano dopo averle applicate. Tali caratteristiche, ossia quelle che rimangono invariate nel corso della trasformazione, prendono il nome di elementi invarianti e proprio grazie ad essi possiamo entrare nel vivo della faccenda andando ad esaminare i principali tipi di trasformazioni geometriche.

 

Tipi di trasformazioni geometriche piane

 

I quattro principali tipi di trasformazioni geometriche piane sono: identità, isometrie, omotetie e similitudini. Possiamo esprimere il loro legame attraverso un diagramma di Eulero-Venn:

 

 

Trasformazioni geometriche piane

 

 

Analizziamole ora, nel dettaglio, una ad una.

 

 

1) Identità: si dice trasformazione geometrica identica una trasformazione che associa ad ogni punto P del piano il punto stesso, cioè, detta T tale trasformazione, per ogni punto P del piano vale T(P)=P.

 

 

2) Isometrie: sono trasformazioni geometriche che conservano le distanze. Ovvero se A e B sono due punti del piano ed f è un'isometria, vale la seguente uguaglianza:

 

\mbox{dist(A,B)}=\mbox{dist[f(A), f(B)]}

 

dove con \mbox{dist(A,B)} \ \mbox{e} \ \mbox{dist[f(A), f(B)]} intendiamo, in questo contesto, le lunghezze dei segmenti che uniscono A con B e f(A) con f(B) rispettivamente.

 

Isometrie dirette e simmetrie inverse

 

Le simmetrie possono essere suddivise in simmetrie inverse (o invertenti) e simmetrie dirette (o non invertenti). Per capire se una simmetria è invertente o non invertente basta prendere un poligono di n lati ed assegnare ad ogni suo vertice una lettera, partendo dalla lettera A e disponendo le altre in senso orario.

 

A questo punto applicheremo, ad ogni vertice (A, B, C, ...) della figura piana in questione, la nostra isometria. Se la sua immagine tramite l'isometria avrà i vertici (A', B', C' ...) disposti ancora in senso orario l'isometria è un'isometria diretta (o non invertente). Se invece i vertici dell'immagine saranno disposti in senso antiorario l'isometria si dirà inversa (o invertente).

 

Come si classificano le isometrie

 

Possiamo dividere le isometrie in:

 

2A) traslazioni: per definire le traslazioni abbiamo bisogno di un segmento orientato (o vettore) \vec{v}. Preso un qualsiasi punto del piano P, una traslazione di vettore \vec{v} associa al punto P un altro punto P' tale che:

 

il segmento PP' ed il vettore \vec{v} abbiano stessa lunghezza, siano paralleli ed abbiano stesso verso.

 

 

Traslazione nel piano

 

 

Ogni traslazione è un'isometria non invertente i cui unici elementi uniti sono le rette parallele al vettore che la definisce. Parleremo in tal caso di rette unite.

 

2B) Simmetrie assiali: fissata una retta r (la quale si dirà asse di simmetria) ed un punto P del piano, una simmetria assiale assocerà al punto P un punto P' in modo tale che la retta r sia asse per il segmento PP' (ovvero sia una retta perpendicolare al segmento PP' e passante per il suo punto medio).

 

 

Simmetria assiale

 

 

Una simmetria assiale è un'isometria invertente; ogni punto che giace sull'asse di simmetria è un punto unito ed ogni retta perpendicolare all'asse è una retta unita.

 

2C) Rotazioni: fissati un angolo orientato α ed un punto O del piano (il quale si dirà centro di rotazione), una rotazione associa ad punto P un punto P' in modo tale che i segmenti OP ed OP' siano due segmenti congruenti e che gli angoli \alpha \ \mbox{e} \ P\hat{O}P' abbiano la stessa ampiezza.

 

 

Rotazione nel piano

 

 

Ogni rotazione è un'isometria non invertente ed il centro di rotazione è l'unico elemento unito.

 

Un caso particolare di rotazione è la simmetria centrale che ad ogni punto P del piano associa il simmetrico P' rispetto al centro di simmetria O precedentemente fissato. Tale punto è scelto in modo tale che il centro di simmetria sia il punto medio del segmento PP'.

 

 

Simmetria centrale

 

 

2D) composizione tra isometrie: la composizione di due isometrie dà origine ad una nuova isometria.

 

Tra le principali isometrie composte abbiamo le rototraslazioni formate dalla composizione di una rotazione e di una traslazione:

 

 

Rototraslazione nel piano

 

 

Un altro esempio di isometria composta è data dalle antitraslazioni frutto della composizione tra una traslazione ed una simmetria assiale.

 

Questo conclude lo studio delle isometrie. Continuiamo ora con le omotetie e le similitudini.

 

 


 

 

3) Omotetie: un'omotetia è una trasformazione geometrica che conserva la forma, ovvero gli angoli e loro ampiezza ma non la distanza tra due punti.

 

Per definire un'omotetia abbiamo bisogno di un punto O (detto centro di omotetia) e di un numero reale non nullo c (il quale si dirà rapporto di omotetia). Fissato un punto P del piano (distinto da O), un'omotetia di centro O e rapporto c assocerà al punto P un punto P' in modo tale che:

 

- i punto P, O, P' siano allineati;

 

- il rapporto tra le misure dei segmenti OP ed OP' sia uguale al valore assoluto del numero reale c.

 

Se il rapporto di omotetia è un numero strettamente positivo (c>0) allora avremo un'omotetia diretta ed il punto P sarà scelto in modo tale che il centro di simmetria O sia esterno al segmento PP'; 

 

se invece il rapporto di omotetia è un numero strettamente negativo (c<0) allora saremo di fronte ad un'omotetia inversa ed il centro di omotetia O sarà un punto dell segmento PP'.

 

 

Omotetia

 

 

Gli elementi uniti di un'omotetia sono il centro (che è un punto unito) e tutte le rette passanti per il centro (che sono rette unite). Inoltre se il rapporto di omotetia è uguale a 1 ogni punto coincide con la sua immagine, mentre se c=-1 l'omotetia si riduce ad una simmetria centrale.

 

 

4) Similitudini: una similitudine è una trasformazione geometrica che conserva i rapporti tra le distanze, ovvero, fissato un numero reale positivo k, se A e B sono due punti distinti del piano ed f(A) ed f(B) sono le loro immagini tramite una similitudine, allora:

 

\mbox{dist}[f(A), f(B)]=k \cdot \mbox{dist}[A,B].

 

k prende il nome di rapporto di similitudine e, se k è maggiore di 1 si ha un ingrandimento, se è compreso tra 0 e 1 si ha una riduzione.

 

Una similitudine lascia quindi inalterata la forma dell'oggetto (non vengono infatti modificati gli angoli) ma ne cambia la grandezza. Ad esempio i seguenti quadrati sono simili con rapporto di similitudine k=2:

 

 

Similitudine

 

 

Possiamo, inoltre, definire la similitudine come la composizione tra un'omotetia ed una isometria.

 

 


 

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Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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