Enti geometrici fondamentali

Gli enti geometrici fondamentali (detti anche enti geometrici primitivi) sono concetti di base della Geometria che vengono definiti intuitivamente e a partire dai quali vengono formulate tutte le altre definizioni; essi comprendono il punto, la retta ed il piano.

 

In questa prima lezione di Geometria Piana non possiamo far altro se non parlare degli enti geometrici primitivi o enti fondamentali. Come avrete già intuito esse sono nozioni imprescindibili che permettono di costruire il palazzo della Geometria e, come tra poco vedremo, costituiscono la base sulla quale si costruiscono tutte le definizioni e i teoremi.

 

Cos'è un ente geometrico primitivo

 

Partiamo da un esempio: sappiamo tutti cos'è un quadrato - un quadrilatero avente quattro lati congruenti e quattro angoli retti.

 

Per parlare dunque di quadrato abbiamo bisogno di sapere cos'è un quadrilatero, cosa si intende per angolo (ed in particolare per angolo retto) qual è la definizione di segmento (grazie alla quale possiamo poi parlare di lati del quadrato), cosa vuol dire congruente... e così via. 

 

Tale procedimento, ovvero quello di definire una cosa a partire da un'altra, non può di certo continuare all'infinito. In altre parole abbiamo bisogno di alcuni concetti per i quali non è data alcuna definizione e sulla base dei quali inizierà la catena di definizioni, postulati, assiomi e teoremi della Geometria. Tali concetti sono, come già anticipato, il punto, la retta ed il piano e si dicono concetti o enti o termini primitivi.

 

Tali enti, anche se non si possono definire con idee più elementari, possono essere espressi in parole il cui significato è noto a tutti. Analizziamoli, ora, separatamente.

 

 

Il punto

 

Per avere un'idea intuitiva di punto prendiamo una matita o una penna e poggiamone la punta su un foglio. Il tratto che ne verrà fuori è quello che possiamo avere come idea di punto.

 

 

punto: ente geometrico primitivo

 

 

I punti si indicano con le lettere maiuscole dell'alfabeto (A, B, C, ...). Ogni punto è adimensionale, cioè è privo di qualsiasi dimensione (altezza, larghezza, spessore) ed ha il semplice scopo di individuare una posizione.

 

Per individuare l'idea del punto Euclide, nel suo primo libro, scrisse: il punto è quello che non ha parte.

 

 

La retta

 

Immaginate un filo di cotone ben teso che continua all'infinito in entrambe le direzioni: questa potrebbe essere una buona idea di retta, la quale è un ente geometrico senza larghezza né spessore. L'unica dimensione ad essa attribuita è la lunghezza. 

 

La retta può inoltre essere pensata come un insieme infinito di punti che corrono lungo la stessa direzione. Le rette si indicano con le ultime lettere minuscole dell'alfabeto (r, s, t,...) e si rappresentano come  segmenti con gli estremi tratteggiati, che stanno ad indicare il fatto che la retta non ha estremi, cioè si prolunga all'infinito.

 

 

retta: ente geometrico primitivo

 

 

Il piano

 

Prendete un foglio di carta e supponete di poterlo estendere, all'infinito, lungo qualsiasi direzione. Si forma così quella che potrebbe essere un'intuizione del concetto di piano, il quale è definito da due sole dimensioni: larghezza e lunghezza. In altri termini un piano non ha spessore.

 

Spesso, per svolgere i problemi, abbiamo bisogno di rappresentare graficamente un piano per avere un'idea della situazione. A tal proposito si è soliti disegnerare un piano come una specie di parallelogramma con i lati tratteggiati, i quali stanno ad indicare che in realtà il piano non finisce nella regione così delimitata, ma che si estende all'infinito.

 

Per denotare i piani utilizzeremo le lettere minuscole dell'alfabeto greco (α, β, γ, ...).

 

 

Piano: ente geometrico primitivo

 

 

Sebbene punto, retta e piano siano concetti primitivi e, teoricamente, non esistenti in natura, abbiamo visto come poterli ugulmente rappresentare graficamente; tutto questo è di grande aiuto per farci cogliere appieno ciò di cui stiamo per parlare.

 

Relazioni tra gli enti geometrici primitivi

 

Vediamo ora alcune tra le proprietà più importanti che legano i concetti primitivi di punto, retta e piano. Tali relazioni prendono il nome di postulati, ovvero proposizioni non dimostrabili. Per saperne di più: (dizionario di Geometria).

 

I primi postulati sono:

 

- un piano contiene infiniti punti ed infinite rette;

 

- una retta contiene infiniti punti;

 

- due punti distinti appartengono ad una e a una sola retta oppure per due punti distinti passa una ed una sola retta.

 

 

Per due punti passa una ed una sola retta

 

 

Da quest'ultimo postulato segue che, se due rette hanno due punti in comune, esse coincidono. Di conseguenza per due rette distinte sono date solamente due possibilità: o non hanno alcun punto in comune (parleremo in tal caso di rette parallele) o ne hanno soltanto uno (in tal caso si parla di rette incidenti).

 

 

rette parallele e rette incidenti

 

 

- Per un punto passano infinite rette: preso un punto A possiamo cioè tracciare infinite rette che lo contengono; si viene così a formare quello che prende il nome di fascio di rette, il quale riveste un ruolo chiave nell'ambito della Geometria Analitica.

 

 

Fascio di rette

 

 

- Esistono infiniti punti non appartenenti alla stessa retta: basta prendere, ad esempio, due rette r ed s incidenti. A parte il punto di incidenza tutti gli infiniti punti della retta r non appartengono ad s e viceversa. 

 

- Per una retta passano infiniti piani i quali formano il cosiddetto fascio di piani.

 

 

Fascio di piani

 

 

- Per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano.

 

 

Per tre punti distinti passa uno ed un solo piano

 

 

- Se almeno due punti di una retta appartengono ad un piano allora l'intera retta è contenuta (o giace) nel piano.

 

 

Retta che giace nel piano

 

 


 

Per ora è tutto! Nella prossima lezione vedremo come, proprio partendo dai concetti di punto e retta, possiamo definire il segmento. Ricordate che in caso di dubbi, problemi, o perplessità varie, potete sempre usare la barra di ricerca interna, grazie alla quale potrete anche scovare migliaia di esercizi e problemi risolti su YouMath. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione successiva


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