Radianti

Il radiante è un'unità di misura degli angoli che viene usata per esprimere l'ampiezza degli angoli. A differenza di gradi, primi e secondi, i radianti individuano una misura adimensionale perché vengono definiti come rapporto tra due lunghezze.

 

Andiamo con ordine e procediamo con calma. Premettiamo sin da subito che l'argomento di questa lezione riguarda gli studenti delle scuole superiori e gli universitari; infatti la necessità di esprimere la misura degli angoli in radianti si manifesta principalmente nei problemi di Geometria più avanzati e più avanti, nello studio della Trigonometria.

 

L'obiettivo di questa lezione prevede innanzitutto di fare chiarezza, perché moltissimi studenti non hanno ben chiaro cosa sia il radiante.

 

Misura degli angoli in radianti

 

Per cominciare partiamo dalla definizione di radiante. Prendiamo una circonferenza di centro O e raggio r>0 ed un suo angolo al centro \widehat{AOB}=\alpha. Tale angolo individuerà sulla circonferenza un arco AB di lunghezza \ell (in arancione).

 

 

Angolo in radianti

 

 

L'ampiezza dell'angolo \alpha espressa in radianti è data dal rapporto tra la lunghezza dell'arco AB e la misura del raggio della circonferenza, ossia:

 

\alpha^{\mbox{rad}}=\frac{\ell}{r}

 

La precedente definizione non si limita a fornirci un metodo operativo per calcolare la misura di un angolo in radianti, ma spiega anche in modo implicito qual è il significato di radiante. Infatti si osserva che:

 

\alpha^{\mbox{rad}}=1 \ \leftrightarrow \ l=r

 

ovvero l'angolo che misura 1 radiante è quello che intercetta sulla circonferenza un arco lungo quanto il raggio. Il suo valore in gradi è approssimativamente 57°18'

 

1\mbox{ rad}\simeq 57^o18'

 

Valori notevoli di angoli in radianti

 

Ora che disponiamo della definizione non è difficile ricavare la relazione radianti-gradi per gli angoli notevoli, in modo da ricavare i corrispondenti valori una volta per tutte e usarli negli esercizi.

 

Partiamo dall'angolo giro, che intercetta l'intera circonferenza. In buona sostanza l'angolo giro individua un arco di circonferenza lungo quanto la circonferenza stessa. Sapendo che il perimetro del cerchio è uguale a 2\pi r si ha che la misura dell'angolo giro espresso in radianti è pari a 2 Pi Greco, infatti:

 

\mbox{angolo giro in radianti}=\frac{\mbox{lunghezza arco}}{\mbox{raggio}}=\frac{2 \pi r}{r}=2 \pi

 

Partendo dall'angolo giro si possono ottenere i valori in radianti degli altri angoli

 

180^{\circ}=\frac{360^{\circ}}{2}

 

e quindi l'angolo piatto in radianti vale

 

180^{\circ}\ \to\ \frac{2 \pi}{2}=\pi

 

Allo stesso modo, essendo l'angolo retto la metà dell'angolo piatto, il suo valore in radianti sarà Pi Greco mezzi

 

90^{\circ}=\frac{180^{\circ}}{2}\ \to\ \mbox{90}^{\circ}\mbox{ in radianti}=\frac{\pi}{2}

 

Ancora:

 

\\ 60^{\circ}=\frac{180^{\circ}}{3} \ \to \ \mbox{60}^{\circ}\mbox{ in radianti}=\frac{\pi}{3}\\ \\ \\ 45^{\circ}=\frac{90^{\circ}}{2} \ \to \ \mbox{45}^{\circ}\mbox{ in radianti}=\frac{\frac{\pi}{2}}{2}=\frac{\pi}{4}\\ \\ \\ 30^{\circ}=\frac{90^{\circ}}{3} \ \to \ \mbox{30}^{\circ}\mbox{ in radianti}=\frac{\frac{\pi}{3}}{2}=\frac{\pi}{6}

 

E con questo è tutto. :) Volendo riassumere i risultati ottenuto in una tabella per gli angoli in radianti:

 

 

Angolo in gradi

Angolo in radianti

0

30°

\frac{\pi}{6}

45°

\frac{\pi}{4}

60°

\frac{\pi}{3}

90°

\frac{\pi}{2}

180°

\pi

360°

2\pi

 

 

Dal canto nostro vi suggeriamo di memorizzare i precedenti valori, anche se potrebbe non essere necessario: risolvendo gli esercizi li userete talmente tante volte da ricordarli automaticamente.

 

In generale, per calcolare l'ampiezza di angoli non notevoli in radianti, esiste una proporzione che permette di convertire i gradi in radianti e viceversa. Se volete approfondire potete dare un'occhiata alla lezione del precedente link.

 

Sappiate inoltre che qui su YM ci sono due tools che con un semplice click vi permetteranno di passare:

 

- dai radianti ai gradi online;

 

- dai gradi ai radianti online.

 

Per tutto il resto - dubbi, problemi ed esercizi svolti - vi consigliamo di usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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